大学课件 概率论与数理统计 第3章 随机向量及其分布3

二维随机变量的函数的分布设(,)XY是二维随机变量,其联合分布函数为(,),Fxy(,)ZgXY是随机变量,XY的二元函数Z的分布函数问题：如何确定随机变量Z的分布呢？)),(()()(zyxgPzZPzFZ二维离散型随机变量的函数的分布设(,)XY是二维离散型随机变量,其联合分布列为(,)ZgXY则是一维的离散型随机变量其分布列为特别的，若(X,Y)的分布列为：()PZk,00(,)kkikiiiPXiYkiP考虑Z=X+Y的分布：,(,)ijPXiYjP，，，，2,1)(jipyYxXPijji，，，，2,1))((jipyxgZPijji例设的联合分布列为(,)XYYX-2-10-11/121/123/12½2/121/12032/1202/12求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(,)XY(1,2)(1,1)(1,0)1(,2)21(,1)2(3,2)(3,0)XYXY22XY解得所求的各分布列为X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12例证明：如果X与Y相互独立，且X~B（n,p），Y~B（m,p），则X+Y~B（n+m,p）证明:X+Y所有可能取值为0，1，…,m+n.0kiinikikimkinmiCpqCpq0kikinmiknkmpqCCkknmkmnCpq证毕kii-kYiXPkYXP0)()(，kii-kYPiXP0)()(两个独立随机变量的和的分布如果X与Y相互独立)(~)(~)(~2121PoisYXPoisYPoisX),(~),(~),(~pnmBYXpnBYpmBX二维连续型随机变量的函数的分布设(,)XY是二维连续型随机变量,其联合分布密度为(,)ZgXY则是一维的连续型随机变量其分布函数为(,),fxy(,)zgxy是二元连续函数，其分布密度函数为()()ZZfzFz一般而言很难求得分布或密度函数的显式表达式只考虑两个随机变量的和这一最简单情形zyxgZdxdyyxfzyxgPzF)()()),(()(，，两个随机变量的和的分布如果（X，Y）的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为()(,)Zfzfxzxdx()(,)Zfzfzyydy或特别，当X，Y相互独立时，有卷积公式()()()ZXYfzfxfzxdx或()()()ZXYfzfzyfydy连续型随机向量和函数的分布设(X,Y)的联合密度为f(x,y)令Z=X+YxzzyxZdydx)y,x(fdxdy)y,x(f)zYX(P)zZ(P)z(FzYXzYXZxzYXZYXdxxufxfdududxxufxfzFdudyxuydxdyyfxfzFyfxfyxfYX)()()()()(,)()()()()(),(,则令独立，则若卷积公式dxxzfxfzfYXZ)()()(dxxfxzfzfYXZ)()()(也可表为：卷积公式两个独立随机变量的和的分布如果X与Y相互独立),(~),(~),(~222121222211NYXNYNX)(~YX)(~)(~X2121ExpExpYExp例设二维随机变量（X,Y）的概率密度为(2)20,0(,)0xyexyfxy其它求随机变量Z=X+2Y的分布密度函数解：1zzeze)2()()(zYXPzZPzFZzyxdxdyyx,f2)(0)(0zZPz20)2(02)(0x-zyx-zdyedxzZPz例设二维随机变量（X,Y）的概率密度为(2)20,0(,)0xyexyfxy其它求随机变量Z=X+2Y的分布函数00()10ZzzzFzezez解:……………所求分布函数为分布密度函数为00()0Zzzfzzez例设ξ,η是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求ζ＝ξ＋η的密度函数。解:dxeedxeedxxzfxfzfzxzxzx2222)2(42)(22121)()()(42422221221)(,22ztzedteezfzxt得令∴ζ～N(0,2)商的分布dxxxypxygxxp),()(),(),(,212121的密度函数为：则的密度函数为若)()(')()()()(axafxFtfbadttfxFaxb则连续。，且是常数、如先证明：)()(')10()()(1)()(,0)(axafxFahaxafdttfhhxFhxFhhxaax有证明：dxxxypxdxxyxpxdxxyxpxyGygdxdxxxpdxdxxxpdxdxxxpyPyGyxyxyxx),(),(),()(')()),(()),((),(}{)(02222022220212102121/21212221的密度函数为：证明：命题3.4.1随机向量12,,,nXXXX服从n维正态分布的充要条件是对任12,,,nnKkkkR,KX服从一维正态分布.命题3.4.2随机向量12,,,nXXXX服从n维正态分布,期望向量为12,,,n,协方差矩阵为Σ,则对任意实数矩阵mnA,有~,AXNAAA.