大学课件 概率论与数理统计 第一章 随机事件与概率

概率论与数理统计•据说有个人很怕坐飞机，说是飞机上有恐怖分子放炸弹。他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之一。百万分之一虽然很小，但还没小到可以忽略不计的程度，所以他从不坐飞机。•可是有一天有朋友看到他在飞机场，感到很奇怪，就问他，你不是说飞机上有炸弹吗？他说我又问过专家，每架飞机上有一颗炸弹的可能性是百万分之一，有两颗炸弹的可能性是百万的平方分之一，也就是说只有万亿分之一，这已经小到可以忽略不计了。朋友说这数字没错，但两颗炸弹与你坐不坐飞机有什么关系？•他得意的说：当然有关系了，不是说同时有两颗炸弹的可能性很小吗？我现在自带一颗，如果飞机上另外再有一颗的话，这飞机上就同时有两颗炸弹，而我们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心的去坐飞机了。坐飞机的故事MontyHallproblem•你面前有三扇关闭的门（1、2、3），其中一个门后面有一辆轿车，另两个门后面是山羊。•主持人让你任选一扇你认为后面是轿车的门，假设你选择1号门。•你选择1号门之后，主持人打开了一扇有山羊的门，假设这是3号门。•这时，主持人给你一个机会：你可以改选2号门，也可以坚持原来的选择1号门。•请问：你是否改选2号门？说明原因。MontyHallproblem概率的起源•概率的历史源于中世纪的赌博问题。•意大利修道士帕奇利在1487年出版的书中介绍了被称为“problemofpoints”的赌博问题。•1654年，帕斯卡[Pascal]的朋友，一位赌金保管人向帕斯卡提出了后来人们所知道的“德•美尔”问题，帕斯卡与朋友费尔马书信交流，成为概率论的实质性出发点。概率的起源•“德•美尔”问题：实力相当的两个赌徒甲和乙，每人各押32个金币的赌注，先赢得对方三次的人获得这64个金币。赌博进行了一段时间，甲赢了对方两次，乙赢了一次，如果这时赌博被迫中断，那么两人应该怎么分这64个金币的赌金呢？31646444甲分个，乙分个11646422甲分个，乙分个21646433甲分个，乙分个概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的专门学科。概率论：对随机现象有基本认知的前提下，进行演绎推理；数理统计：试图通过实验来认知随机现象。处理问题的思路往往来自概率论的有关结果。用确定的数学研究非确定的现象。以确定的数学为工具：排列组合，高等数学（单变量微积分，多变量微积分），线性代数；研究非确定的现象：例如天气预报，数理金融，控制论，质量检测与管理，寿险精算，甚至赌博，有着非常大的应用价值。广泛应用于日常生活和工业生产第一章随机事件与概率随机现象与随机事件概率的定义条件概率与独立性试验１：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪一面向上。试验２：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子。观察所出现的点数试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命这些试验具有如下特点：1）试验可以在相同的条件下重复进行2）试验可能出现的所有结果种类已知3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试验结果必是所有可能结果中的某一个具有这些特点的试验称为随机试验。随机现象与随机试验1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。2)随机试验今后简称为试验。3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质，称为统计规律性。说明：概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性每一个可能结果出现的可能性的大小是确定的。样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用Ω表示。样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。样本空间与随机事件试验２：投掷一颗匀质正六面体的骰子，观察所出现的点数。Ω＝{1，2，3，4，5，6}试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素，称为有限样本空间。试验3的样本空间含有的元素是无限的，称为无限样本空间。试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命Ω＝[0，+∞)={x∈R∣0≤x+∞}试验１：投掷一枚匀质的硬币，观察哪一面向上。规定带有国徽图案的是正面。Ω＝{正面，反面}随机事件：样本空间的某些子集称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。在一次试验中，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中事件A发生。否则，当试验结果ω∈事件A时，称这次试验中事件A不发生。两种特殊的随机事件：必然事件：样本空间在每次试验中均会发生，故称为必然事件。不可能事件：空集Ø在每次试验中均不会发生，故称为不可能事件。不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。由基本事件组合而成的事件称为复合事件。注意：基本事件是相对的，不是绝对的。也可这样定义：基本事件：只含单个样本点的集合称为基本事件或简单事件。例：在下列试验中，试用集合表示下列事件。解：{出现偶数点}={2，4，6}。1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子，出现偶数点的事件。{出现偶数点}是一个复合事件。它可分解为更简单的事件，{出现偶数点}={出现２点}∪{出现４点}∪{出现６点}但上述三事件不能再分解为更简单的事件，是基本事件。2)、从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命。{灯泡寿命大于100小时}的事件。解:{灯泡寿命大于100小时}＝｛Ｔ∣Ｔ＞100｝1、事件的包含如果事件A发生，事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记为：BAA显然：ΩBA文氏图例如：B＝{出现偶数点}，A＝{出现４点}一、事件的关系2、事件的相等如果事件A与事件B互相包含，即则称事件A等于事件B。记为：A＝B。且ABBAΩAB3、事件的互斥如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生（但可以都不发生），则称事件A与事件B是互斥或互不相容的。记为：A∩B＝Ø如事件A1，A2,…，An任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的,简称互斥。即有Ai∩Aj=Ø，1≤i＜j≤nΩAA4、事件的对立所谓事件Ａ与事件Ｂ为对立事件，就是指Ａ与Ｂ不同时发生，但必发生一个。由定义AB＝ØA＋B＝Ω记B＝A，则B＝A例如：Ａ＝{出现偶数点}，Ｂ＝{出现奇数点}；Ａ与Ｂ互为对立事件。1、事件的积事件A与事件B的积是指事件A和事件B同时发生。记为AB或A∩B。11iinAAA全都发生的事件，记为，，是指一列事件当A、B互为对立事件时，有：A＋B＝Ω，AB＝Ø。同时发生的事件。，是指事件nniiAAA11可列多个事件的积事件例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则ＡＢ＝{出现2点}二、事件的运算2、事件的和事件A与事件B的和是指事件A和事件B中至少有一个发生。记为A∪B。例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则A∪B＝{出现偶数点}当A、B互斥时，A∪B可记为A＋B。n个事件A1，…，An的和是指这n个事件中至少有一个发生。如果事件A1，A2，…，An两两互斥,则如果事件A1，A2，…，An两两互斥,且Ω＝A1+A2+…+An，则称这n个事件构成互斥完备群。niiA1niiiniAA1111iinAAA为中至少有一个发生，记，，是指一列事件可列多个事件的和事件解:(1)(2)(3)例：设Ａ、Ｂ、Ｃ为任意三个事件，写出下列事件的表达式：（例1.1.6）1)恰有二个事件发生。2)三个事件同时发生。3)至少有一个事件发生。BCACBACABABCCBACBAABCBCACBACABCBACBACBA或或某射手向目标射击三次，用表示第次击中目标，试用及其运算符表示下列事件：iAi1,2,3,iiA（1）三次都击中目标：123AAA（2）至少有一次击中目标：123AAA（3）恰好有两次击中目标：123123123AAAAAAAAA（4）最多击中一次：121323AAAAAA（5）至少有一次没有击中目标：123123AAAAAA（6）三次都没有击中目标：123123AAAAAA例：3、事件的差事件Ａ与事件Ｂ的差Ａ－Ｂ，是指Ａ发生，Ｂ不发生。由定义Ａ－Ｂ＝A∩B，A＝Ω－A例如：Ａ＝{出现２点或４点}，Ｂ＝{出现２点或６点}；则Ａ－Ｂ＝{出现４点}对于任意三个事件Ａ、Ｂ、Ｃ，满足下列运算：1)、交换律A∪B=B∪AAB=BA2)、结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(AB)C=A(BC)3)、分配律A(B∪C)=AB∪ACA∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)4)、对偶律in1iin1iin1iin1iAABABAAABABA三、事件的运算法则1.2概率的定义•概率的统计定义•概率的古典定义•概率的几何定义•概率的公理化定义频率的定义设事件Ａ在ｎ次试验中出现了ｒ次，则比值r/n称为事件Ａ在ｎ次试验中出现的频率。概率的统计定义概率的统计定义在同一组条件下所作的大量重复试验中，事件Ａ出现的频率总是在区间[0，1]上的一个确定的常数ｐ附近摆动，并且稳定于ｐ，则ｐ称为事件Ａ的概率，记作P(A)。古典概型的随机试验要求满足下两条件：有限性。只有有限多个不同的基本事件。等可能性。每基本事件出现的可能性相等。概率的古典定义在古典概型中，如果基本事件（样本点）的总数为ｎ，事件Ａ所包含的基本事件（样本点）个数为r(r≤n)，则定义事件Ａ的概率P(A)为r/n。即古典概率基本事件总数中包含的基本事件个数AnrAP)(例袋中有3只白球2只红球，先从袋中任取两只球，试求以下各事件的概率.(1)A={取得的两只球都是白球}(2)B={取得的两只球都是红球}(3)C={取得的球1只为白球一只为红球}P(A)=3/10,P(B)=1/10,P(C)=6/10概率的几何定义向某一区域Ω随机投点，则点M落入Ω的某一部分A的概率的测度的测度AAP)(注意：随机投点是指M落入Ω内任一处均是等可能的。AMΩ几何概率例(约会问题)两人相约在7点到8点间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时即离去.试求这两人会面的概率.解：两人都在7点到8点间的任意时刻到达，亦即在[0,60]的任意点到达，设x和y分别为两人到达的时刻，则两人到达的时刻为二维区域[0,60]×[0,60]内的所有点，而两人能会面当且仅当│x-y│≤20所以P{两人能会面}=95604060222古典概率：试验结果要求有限、互不相容、等可能几何概率：落入区域G内任一点是等可能的。统计概率：要求作大量重复试验。前面学了三种概率定义，各有其局限性。概率的公理化定义事件域事件域由样本空间的一些子集构成的集合F，如果满足如下条件：FAnFAFAFAFnnn1,,2,1)3,)2)1则如则如则称F为一个事件域。F中的元素称为随机事件，Ω为必然事件，Ø为不可能事件.概率的公理化定义设Ω是样本空间，A∈F，P(A)是A的实值函数，且满足如下三条公理，则称P(A)是A的概率。公理1公理2公理3对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤1P(Ω)=1对于n个两两互斥的事件A1，A2，…，An，有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An))A(P)A(P)A(P)AAA(Pn21n21即1)、非负性对任一事件Ａ有：0≤P(A)≤12)、规范性P(Ω)=13)、可加性若事件Ａ与Ｂ互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)概率的性质对于n个两两互斥的事件A1，A2，…，An，有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)如果构成互斥完备群，则P(A1)+P(A2)+…+P(An)＝1对一列两两互斥的事件A1，A2，…，An，…有4)、P(Φ)＝0证明：对任一事件A，A＝A＋Ø则P(A)=P(A＋Ø)=P(A)＋P(Ø)∴P(Ø)=011)()(kkkkAPAP)()()5BPAPBA，则如证明：)()(0)()()()]([)()(APBPABPABPAPABAPBPABABBA（单调性）6)、对于任意事件Ａ，有P(A)=1－P（A）)(1)(1)()(1)()(ØAPAPAPAPPAAPAAAA即证明：7)、对于任意事件Ａ、Ｂ，有P(A－B)=P(A)－P(AB))()