大学课件 概率论与数理统计 第3章 随机向量及其分布2

二维连续型随机变量例如，向一个靶面射击，考虑命中点的坐(X,Y)，就是一个二维的连续型随机变量。类似于一维随机变量，较为便捷的办法应当是引入密度函数来研究其分布情况。但是此时有X,Y两个随机变量，故其密度函数应该是某种“联合”的形式可以根据定义直接求其联合分布函数，但是往往非常复杂。若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x和y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式(,)(,)xyFxyfuvdudv则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义联合概率密度函数的性质(,)1fxydxdy((,))(,)DPxyDfxyd非负性几何解释Dxy(,)fxy(,)0fxy.2(,)(,)Fxyfxyxy.(,)1F随机事件的概率=曲顶柱体的体积二维均匀分布1,(,)(,)0,DxyDSfxy其它设二维随机变量(,)XY的概率密度为D(,)XYD在上服从均匀分布.，则称是平面上的有界区域，其面积为其中DS例：在某一分钟内的任何时刻,信号进入收音机是等可能的.若收到的两个独立的信号的时间间隔小于0.5秒,则信号将相互干扰.试求一分钟内两信号相互干扰的概率.解：设两信号进入收音机的时刻分别为X和Y,则由题设有(X,Y)服从均匀分布,即X和Y的联合分布密度为：1,0,60(,)36000,XYxyfxy其他由题意，所求概率为：||0.51(||0.5)dd3600xyPXYxy211(3600259.5)0.016636002二维正态分布设二维随机变量(,)XY的概率密度为12222112222211221(,)21()()()()1exp[2]2(1)fxyxxyy(,)xy1212,,,,120,0,11其中均为参数则称(,)XY服从参数为1212,,,,的二维正态分布221212(,,,,)N二维连续型随机变量的边缘密度关于X的边缘概率密度为()(,)Xfxfxydy关于Y的边缘概率密度为()(,)Yfyfxydx设f(x,y)为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数。如果我们现在只想考察随机变量X或Y各自的情况，如何处理？二维连续型随机变量的边缘分布()(,)(,)XxFxFxfuvdvdu()(,)(,)YyFxFyfuvdudv的边缘分布函数为关于Y的边缘分布函数为关于X二维连续型随机变量的相互独立(,)()()XYfxyfxfy★定义设（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，两个边缘分布函数分别为FX(x),FY(y)，如果对于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称随机变量X，Y相互独立。对任意x,y都成立对于连续型随机变量，该定义等价于在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用.在X与Y是相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！实际意义补充说明(,)()()XYFxyFxFy例设（X,Y）的联合密度为01,13(,)0kxyxyfxy其它求k值和两个边缘分布密度函数.12k()(,)Xfxfxydy311021kydyxdxk解:由(,)1dxfxydy得[0,1]x当时31122()Xfxxydyx关于X的边缘分布密度为113()0Xfx2[0,1]()0Xxxfx其它所以，关于X的边缘分布密度为[0,1]x当时113[1,3]()40Yyyfy其它()(,)Yfyfxydx()0Yfy所以，关于Y的边缘分布密度为[1,3]y当时[1,3]y当时,10124()Yyfyxydx关于Y的边缘分布密度为例已知二维随机向量（X，Y）的密度为试确定k的数值，并求(X,Y)落在区域D={(x，y)|x2≤y≤x，0≤x≤1｝的概率、边缘分布密度函数及独立性。其他010,1,2xyxkxyyxf边缘分布密度和概率的计算解:(1)由概率密度性质，知1,dxdyyxf66dx)221(,104101x2kkxxkkxydydxdxdyyxf即41)(366dxdy),()D)Y,X((}10,x),{(D)2(104210DD22dxxxxxydydxxydxdyyxfPxyxyxxxy=x11y=x2;10),1(3),()()3(4,xxxdyyxfxfYXX;10,3),()(2,yydxyxfyfYXY不独立。与所以，知，由YX)()()()3()4(YXY,Xyfxfyx,f连续型随机变量的条件分布),()(),()Y,X(YXyfxfyxf、，边缘密度为的联合密度为设)Y()Y,X(lim)YX(lim)YX()(XY0)(00YyyyPyyyxPyyyxPyxPyxFyyyfyy的分布函数的条件下，定义在，的对连续，、如)(),(Yyfyxfyyyxyyyydvvfdudvvuf)(),(limY0)(),()()(),()(),()(YYYyfyxfyxfduyfyufyfduyufyxFxx由积分中值定理类似地，Y的条件分布函数及条件密度函数为)(),()()(),()XY()(XXxfyxfxyfdvxfvxfxyPxyFy综上所述.0)(,)(),()(;0)(,)(),()(XXYYxfxfyxfxyfyfyfyxfyxf则：),()(),()Y,X(YXyfxfyxf、，边缘密度为的联合密度为设例设(X,Y)的密度函数为。及求其他)()(010,16),(2xyfyxfxyxxyyxf其他时或当时当01033)(0)(01336)(105XX51X2xxxxfxfxxxxxydyxfxx解：其他时或当时当0103)(0)(0136)(102YY20Yyyyfyfyyyxydxyfyy其他＝其他时当010,112010,1)1(36)(),()(102424Xxyxxyxyxxxxyxfyxfxyfx其他＝其他时当010,02010,036)(),()(102Yyyxyxyyxyxyyfyxfyxfy例设（X,Y)的联合分布密度为221(,)0kxyfxy其它（1）求k值（2）求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y-1)和P(X1/2)(2)()(,)Xfxfxydy22111()xXxfxdy均匀分布解：(1)由(,)1fxydxdy2211xykdxdyk得1k[1,1]x当时221x-11221[1,1]()0Xxxfx其它[1,1]x当时()0Xfx所以，关于X的边缘分布密度函数为-11续解………..-11()(,)Yfyfxydx22111()yYyfydx221[1,1]()0Yyyfy其它解：[1,1]y当时[1,1]y当时()0Yfy所以，关于Y的边缘分布密度函数为221y1()(,)2DPXfxydxdy(1)(,)DPXYfxydxdy解：（3）13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy22111121xxdxdy例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布221212,,,,N分别积分，可得两个边缘密度函数为：即其联合密度函数为：12222112222211221(,)21()()()()1exp[2]2(1)fxyxxyy21212)(121)(xXexf22222)(221)(xYeyf即两个边缘分布分别服从正态分布211~,XN222~,YN与相关系数无关可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布。例设（X，Y）的联合分布密度函数为2221(,)(1sinsin),,2xyfxyexyxy求关于X，Y的边缘分布密度函数.解：关于X的分布密度函数为()(,)Xfxfxydy2221(1sinsin)2xyexydy22222211sinsin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xyexeydy~0,1XN所以，.~0,1YN同理可得.不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布。