大学课件 高等数学 偏导数

1第二节偏导数偏导数的定义及其计算法偏导数的几何意义高阶偏导数小结思考题作业partialderivativehigher-orderpartialderivative第八章多元函数微分法及其应用2一、偏导数的定义及其计算法定义),(yxfz设函数,0yy固定为将),(),(0000yxfyxxfzxxzxx0lim存在,处在点),(),(00yxyxfz的某邻域在点),(00yx内有定义，,0时处有增量在而xxx函数有相应的增量如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000则称此极限为函数偏导数(称为关于x的偏增量).记为对x的偏导数,3记为,00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz或).,(00yxfx同理,可定义函数处在点),(),(00yxyxfz为yzyy0limyyxfyyxfy),(),(lim00000记为,00yyxxyz,00yyxxyf,00yyxxyz或).,(00yxfyxyxfyxxfxzxxx),(),(limlim000000偏导数对x的偏导数,对y的偏导数,4那么这个偏导数仍是yx、的二元函数,它就称为函数如果函数对自变量x的偏导函数(简称偏导数),记作,xz,xfxz或).,(yxfx同理,可定义函数),(yxfz对自变量y的偏导函数(简称偏导数),记作,yz,yfyz或).,(yxfy偏导数在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,),(yxfz),(yxfz»5偏导数的概念可以),,(zyxfx),,(zyxfy),,(zyxfz推广到二元以上函数如,),,(zyxfu处在),,(zyx,),,(),,(lim0xzyxfzyxxfx,),,(),,(lim0yzyxfzyyxfy.),,(),,(lim0zzyxfzzyxfz偏导数6求多元函数的偏导数例求在点(1,0)处的两个偏导数.yyxzsin2解,2xyxz,cos2yxyz,0)0,1(xz.2)0,1(yz利用一元函数),,(yxfx如求只需将y的求导法对x求导即可.看作常量,并不需要新的方法,偏导数例求的偏导数.)0(xxzy解,1yyxxzxxyzyln7三个偏导数.2lnsin)(),,(xazzyxfxy求解求某一点的偏导数时,12]ln[sinxx)2,0,1(yf)2,0,1(zf)2,0,1(xf12lncos2xxx20(0)0,y例变为一元函数,代入,在点(1,0,2)处的可将其它变量的值再求导,常常较简单.偏导数2(0)0.z8证VRTp;2VRTVppRTV;pRTVRpVT;RVpTpTTVVp2VRTpRRV.1pVRT1:pTTVVp求证,,,,为常数为温度为体积为压强RTVp偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商.例偏导数,pVRT已知理想气体的状态方程其中9二、偏导数的几何意义偏导数),(yxfz设二元函数)),(,,(00000yxfyxM设在点),(000yxM有如图,),(yxfz为曲面偏导数.上的一点,0M),(yxfzyxzO过点0M作平面,0yy此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为),,(yxfz.0yy),(0yxfz由于偏导数),(00yxfx等于一元函数),(0yxf的导数),(0yxf,0xx故由一元函数导数的几何意义0x0y10偏导数可知:0xyTxT0y),(yxfzyxzO),(0yxfz0M偏导数),(00yxfx在几何上表示曲线),(yxfz0yy在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对x轴的斜率;偏导数),(00yxfy在几何上表示曲线),(yxfz0xx在点)),(,,(00000yxfyxM处的切线对y轴的斜率.),(0yxfz11曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少?解,21),(xyxfxtan1)4,2(xf4在点(2,4,5)处的切线与y轴正向所成的倾角是多少?,2422xyxz偏导数曲线22,44xyzy12偏导数).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当解例.),(的偏导数求yxf,)0,0(),(时当yx),(yxfxy222)(yx)(22yxxxy2,)()(22222yxxyy),(yxfy222)(yx)(22yxxyxy222222().()xxyxy,)0,0(),(时当yx按定义得13)0,0(xf00lim0xx)0,0(yf00lim0yy注但前面已证,此函数在点(0,0)是不连续的.xfxfx)0,0()0,0(lim0yfyfy)0,0()0,0(lim0偏导数,)0,0(),(时当yx按定义得).0,0(),(0),0,0(),(),(22yxyxyxxyyxf当当.),(的偏导数求yxf由以上计算可知,),(yxf在点)0,0(处可偏导,看下一函数又如何：22(,)fxyxy14偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续多元函数中在某点偏导数存在连续不了连续性.偏导数都存在,函数未必有极限,更保证偏导数15x=x0上的值有关,而与(x0,y0)邻域内其他点上所以偏导数存在不能保证函数说明因偏导数fx(x0,y0)仅与函数f(x,y)在y=y0上的值有关,偏导数fy(x0,y0)仅与函数f(x,y)在的函数值无关,有极限.偏导数16二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的().A.充分条件而非必要条件B.必要条件而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件又非必要条件D1994年研究生考题,选择,3分偏导数17xz),(yxfyy),,(yxfxy),(yxfyx函数),(yxfz的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义x22xz),,(yxfxx22yzyzyyxz2xzyxyz2yzx偏导数三、高阶偏导数高阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为18偏导数例xyyxz23求的四个二阶偏导数.解xz,322yyx,23xyx22xz,62xy22yz,23xxyz2.162yxyxz2;162yxyz19偏导数例).0,0(),(0),0,0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当设解,)0,0(),(时当yx),(yxfx),(yxfy有2223222)(2)(3yxxyxyxyx,)(232224222yxyxyxyx.)(222223223yxyxyxx(0,0)(0,0).xyyxff求和20,)0,0(),(时当yx偏导数按定义得)0,0(xfxx0lim0)0,0(yfyy0lim0xfxfx)0,0()0,0(lim0yfyfy)0,0()0,0(lim0)0,0(xfyfyfxxy)0,0()0,0(lim02224222)(23),(yxyxyxyxyxfx,0)0,0(yfxfxfyyx)0,0()0,0(lim0.122223223)(2),(yxyxyxxyxfy00).0,0(),(0),0,0(),(),(223yxyxyxyxyxf当当设).0,0()0,0(xyxyff和求xy21多元函数的高阶混合偏导数如果连一般地,续就与求导次序无关.如果函数的两个二阶混合偏),(yxfyx与),(yxfxy在区域D内定理连续，那么在导数该区域内偏导数但就通常所遇到的函数,在前一题中两个混合二阶偏导数相等,此种情后一题中两者不相等,这说明混合偏导数与求偏导数的次序有关.但在况不会发生,这是因为有下述的定理:).,(yxfyx),(yxfxy如yxf23xyxf3.23xyf处在点和)0,0(yxxyff后一题中),0,0()0,0(yxxyff这只能说明都不连续.注),(yxfz22偏导数多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微分方程.偏微分方程是描述自然现象、反映自然规律的一种重要手段.例如方程22222xzayz(a是常数)称为波动方程,它可用来描述各类波的运动.又如方程02222yzxz称为拉普拉斯(laplace)方程,它在热传导、流体运动等问题中有着重要的作用.23例偏导数验证函数)sin(ayxz.22222xzayz满足波动方程:证因xz22xzyz22yz故有.22222xzayz),cos(ayx);sin(ayx),cos(ayxa),sin(2ayxa2422lnyxz,22yxxxz.02222yzxz偏导数例验证函数满足拉普拉斯方程:22lnyxz证因2222222)(2)(yxxxyxxz,)(22222yxxy由x,y在函数表达式中的对称性,),ln(2122yx立即可写出,22yxyyz,)(2222222yxyxyz即证.251988年研究生考题,计算,6分有连续的其中设gfxyxgyxyfu,,.,222yxuyxux求二阶导数答案:0解xu222uxxyyfgxyyyxx偏导数xygxyyxfxyg22231uxyyfgxyyxx261994年研究生考题,填空,3分).()1,2(,sin2处的值为在点则设yxuyxeux2e1998年研究生考题,填空,3分有连续的二阶且设,)()(1fyxyxyfxz).(,2yxz则导数)()()(yxyyxxyfy偏导数27偏导数的定义偏导数的计算高阶偏导数(偏增量比的极限)纯偏导混合偏导(相等的条件)四、小结偏导数偏导数的几何意义偏导数存在与连续、极限的关系281997年研究生考题,选择,3分).()0,0()0,0(),(0)0,0(),(),(22处在点yxyxyxxyyxfA.连续,偏导数存在;B.连续,偏导数不存在;C.不连续,偏导数存在;D.不连续,偏导数不存在.C偏导数思考题29作业习题8-2(18页)1.(3)(6)(7)(8)4.6.7.9.(2)偏导数