大学课件 高等数学 微分法在几何上的应用

1小结思考题作业空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线第六节微分法在几何上的应用第八章多元函数微分法及其应用2设空间曲线的方程)1()()()(tzztyytxx(1)式中的三个函数均可导.M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面微分法在几何上的应用Oxyz3考察割线趋近于极限位置——xxx0ttt上式分母同除以,tMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxxyyy0zzz0切线的过程微分法在几何上的应用Oxyz4,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程)()()(000000tzzztyyytxxx切向量法平面0))(())(())((000000zztzyytyxxtx切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.MM微分法在几何上的应用Oxyz000((),(),())Txtytzt5设曲线直角坐标方程为,)()(100000xzzzxyyyxx.0))(())(()(100000zzxzyyxyxx法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令)(),(xzzxyy)()(xzzxyyxx切线方程为x为参数,两个柱面的交线微分法在几何上的应用)()()(000000tzzztyyytxxx6.0处的切线与法平面方程在t:求曲线ttuezttyuuex301cossin2dcos解2,1,0zyx,costext,sincos2ttytez33,1)0(x,2)0(y3)0(z切线方程322110zyx法平面方程0)2(3)1(2zyx0832zyx)()()(000000tzzztyyytxxx0))(())(())((000000zztzyytyxxtx例即,0时当t微分法在几何上的应用7例在抛物柱面与的交线上,求对应的点处的切向量.x为参数,于是,1x,12xyxz24212xz26xy21x解22126xzxyxx所以交线上与21x对应点的切向量为:T).12,6,1(交线的参数方程为取微分法在几何上的应用8设空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组两边分别对.)()(xzzxyy)()(xzzxyyxx,0))(),(,(0))(),(,(xzxyxGxzxyxF表示.)x求全导数:两个曲面的交线微分法在几何上的应用9xydd利用2.结果,0ddddxzGxyGGzyxzyzyGGFFxzxzGGFFzyzyGGFFyxyxGGFF)()(100000xzzzxyyyxx两边分别对,0))(),(,(0))(),(,(xzxyxGxzxyxFx求全导数0ddddxzFxyFFzyx)()(100000xzzzxyyyxx微分法在几何上的应用ddzx10.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx切线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF在点M(x0,y0,z0)处的微分法在几何上的应用11解的在点求曲线)2,3,1(80222222Pzyxzyx例切线方程和法平面方程.法一直接用公式;8),,(222zyxzyxF令222),,(zyxzyxG,2xFx,2yFy;2zFz,2xGx,2yGy.2zGz微分法在几何上的应用12.0)()()(000000zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy法平面方程,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx切线方程微分法在几何上的应用13切线方程1x0dd2dd22xzzxyyx33dd0Pxy0dd0Pxz法二将所给方程的两边对x求导的在点求曲线)2,3,1(80222222Pzyxzyx切线方程和法平面方程.法平面方程0)2(0)3(33)1(1zyx.0633yxxzzxyyxdd2dd223y2z1330微分法在几何上的应用14设曲线)(),(),(tzztyytxx证)]()[(txXtx因原点)0,0,0(0)()()()()()(tztztytytxtx即0][于是)()()(222tztytx证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为)),(),(),((tztytx故有)]()[(tyYty)]()[(tzZtz0C)()()(222tztytx微分法在几何上的应用在法平面上,任取曲线上一点0))(())(())((000000zztzyytyxxtx15yxzO0),,(zyxF今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为0),,(zyxF的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线微分法在几何上的应用),,(000zyxM,),,(000zyxM函数),,(zyxF的偏导数在该点连续且不同时为零.,0tt)(),(),(000tztytx且点M对应于参数不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为),(),(),(tzztyytxx16微分法在几何上的应用)),(),(),((000tztytxTyxzO0),,(zyxF),,(000zyxMT由于曲线Γ在曲面Σ上,所以,0)](),(),([tztytxF在恒等式两端对t求全导数,并令,0tt则得)(),,(0000txzyxFx若记向量)),,,(),,,(),,,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲线Γ在点M处切线的方向向量记为则※式可改写成,0Tn即向量Tn与垂直..0)(),,()(),,(00000000tzzyxFtyzyxFzy※n17因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的n微分法在几何上的应用yxzO0),,(zyxF),,(000zyxMn过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量n称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的n18)),,(),,,(),,,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量:微分法在几何上的应用切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx所以曲面Σ上在点M的19解,3),,(33azxyzzyxF令切平面方程法线方程;0azx1010azayx),,0(),,(aazyxFFFn)3,0,3(22aa例处的切平面上点求曲面),,0(333aaazxyz).0(a和法线方程,3yzFx,3xzFy,332zxyFz∥)1,0,1(.ayazx0)(1)(0)0(1azayx切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx0),,(:zyxF曲面方程MzyxFFFn),(,曲面在M处的法向量:微分法在几何上的应用20842232222yzxzxyzyx在曲面上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于yOz平面.解设所求点为),,,(zyx则切平面的法向量为∥)32,22,(zyxzyxzyx由题意,n)32,22,(zyxzyxzyx∥)0,0,1(由此得022zyx.0,2zyx所求之点:).0,2,4()0,2,4(及032zyx),(2zyxn)(),22(2zyx)32(2zyx微分法在几何上的应用212.曲面方程形为的情形),(yxfz曲面在M处的切平面方程为,0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx曲面在M处的法线方程为.1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,),(),,(zyxfzyxF令,xxfF.1zF,yyfF或,))(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx)1,,(yxffn显式方程微分法在几何上的应用)),,(),,,(),,,((000000000zyxFzyxFzyxFnzyx22例过上所有点处的切平面都证明曲面xyxez.一定点证,),,(000是曲面上任一点设zyx0000xyexz则法向量为切平面方程为0)()()()1(000000000zzyyexxexyxyxy),,(yxfz)1,,(yxffn,)1(0000xyexyn)(,00xye1微分法在几何上的应用230])1[()1(000000000000000zyexexyzyexexyxyxyxyxy00)()()()1(000000000zzyyexxexyxyxy,0)1(000000zyexexyxyxy所以这些平面都过000xyxez原点.过上所有点处的切平面都证明曲面xyxez.一定点微分法在几何上的应用24微分法在几何上的应用2003年考研数学(一),3分04222zyxyxz与平面曲面平行的切平面的方程是().542zyx25例证,0)(().(aufczbyfaxz可微证明曲面)均为常数、cb的所有切平面都与一常向量平行.则曲面在任一点处的法向量:,azczbyfaxzyxF)(),,(令则),(AnAbczbyfbcczbyfbcb)()(,0即nA所以,所有的切平面均与),,(bcab常向量平行.0),,(:zyxF曲面方程MzyxFFFn),(,曲面在M处的法向量:1)(czbyfcn)(),(czbyfb,ab取,cb微分法在几何上的应用26例0523zyxzyx8522222zyx证85222),,(22zyxzyxF令过直线L的平面束方程为523zyx即05)1()2()3(zyx其法向量为)1,2,3(,4xFx2zF,4yFy0)(zyx微分法在几何上的应用求过直线L且与曲面相切之切平面方程.27设曲面与切平面的切点为),,,(000zyx则过直线L的平面束方程其法向量为,4xFx2zF,4yFy,85222),,(22