大学课件 高等数学 曲面及其方程

1第三节曲面及其方程曲面方程的概念小结思考题作业(surface)旋转曲面柱面二次曲面(surfaceofrevolution)(cylindricalsurface)(quadraticsurface)第七章空间解析几何与向量代数2水桶的表面、曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义曲面的实例(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;如果曲面S0),,(zyxF有下述关系:那么,0),,(zyxF方程就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.曲面及其方程一、曲面方程的概念台灯的罩子面等.与三元方程xyzOS(,,)0Fxyz3曲面的参数方程为凡三元方程都表示空间一曲面是一个三元方程,1222zyx注但不表示任何曲面.错,),(),(),(vuzzvuyyvuxx如曲面及其方程4以下给出几例常见的曲面.解RMM||0202020)()()(zzyyxx2202020)()()(Rzzyyxx所求方程为球心在原点的球面方程2222Rzyx的、半径为建立球心在点RzyxM),,(0000.球面方程例特殊),,(zyxM设是球面上任一点,R21221221221)()()(zzyyxxMM曲面及其方程5解||||0MMMO222222432zyxzyx911634132222zyx所求方程),,(zyxM设是曲面上任一点,例的全体所组成的曲面方程.的点：的距离之比为及求与原点21)4,3,2(0MO2121曲面及其方程6研究空间曲面有(1)已知曲面,(2)已知方程,两个基本问题(讨论旋转曲面)(讨论柱面,二次曲面)求方程;研究图形.曲面及其方程7二、旋转曲面定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,母线.为方便,平面取作坐标面,旋转轴取作坐标轴.曲面及其方程(surfaceofrevolution)常把曲线所在以一条平面曲线母线轴8d),,,(zyxM设zz1)1(22yxd旋转过程中的特征：如图将,1zz0),(11zyf),,,0(111zyM0),(22zyxf得方程轴的距离到点zM)2(||1y221yxy代入曲面及其方程0),(11zyfxyzO),,0(111zyM),,(zyxM0),(:zyfC90),(yf22zx旋转曲面方程.旋转一周的即为0),(zyfyOz坐标面上的已知曲线同理,0),(zyfyOz坐标面上的已知曲线旋转曲面方程为旋转一周的0),(22zyxf绕z轴绕y轴曲面及其方程10曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到:而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.曲面及其方程11解cotyz圆锥面方程cot22yxz所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,例两直线的夹角圆锥面的半顶角.)20(称为试建立顶点在坐标原点O,旋半顶角为的圆锥面的方程.转轴为z轴,yOz面上直线方程为曲面及其方程),,(zyxM),,0(111zyM直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周yxzOxyzO12圆锥面方程cot22yxz即圆锥面方程)cot()(2222ayxaz即,1时a1cot4222yxz(用得较多)cotzy绕y轴旋转所得曲面方程及图形.)(cot2222zxy)(222zxa)cot(acoty即曲面及其方程yOz面上直线方程为22zxOzxy13将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.122cz旋转双曲面例双曲线(1)12222czax分别绕x轴和z轴;绕x轴旋转绕z轴旋转2c22zy22ax122yx2a曲面及其方程14绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面pzyx222旋转抛物面(2)12222czayyOz坐标面上的椭圆绕y轴和z轴;(3)pzyyOz22坐标面上的抛物线绕z轴.曲面及其方程15选择题B方程222)(yxaz(A)xOz平面上曲线绕y轴旋转所得曲面;22)(xaz(B)xOz平面上直线绕z轴旋转所得曲面；xaz(C)yOz平面上直线绕y轴旋转所得曲面；yaz(D)yOz平面上曲线绕x轴旋转所得曲面.22)(yaz表示().曲面及其方程16定义三、柱面平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.曲面及其方程(cylindricalsurface)所形成的曲面称为移动的直线L柱面.LC准线母线17因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,例讨论方程的图形.222Ryx在xOy面上,222Ryx解现在空间直角坐标系中讨论问题.母线平行于z轴的柱面.曲面及其方程表一个圆C.过点作平行z轴的直线L,)0,,(1yxM设点在圆C上,对任意z,点的坐标也满足方程沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标都满足此方程,在空间,222Ryx就是圆柱面方程.此曲面称为圆柱面.),,(zyxMxyzOC1MM)0,,(1yxM222RyxL18xyzOxyzOxy平面表示母线平行于zxy22.22xyxy表示母线平行于z轴.xy曲面及其方程xy22抛物柱面柱面举例其准线是xOy面上的抛物线轴的柱面,的柱面,其准线是xOy面上的直线19从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例12222czby椭圆柱面12222byax双曲柱面pzx22抛物柱面,0),(,yxFzyx的方程而缺只含直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线曲面及其方程母线平行于x轴母线平行于z轴母线平行于y轴20四、二次曲面1.二次曲面的定义即为二次曲面.相应地平面被称为三元二次方程所表示的曲面称为lxgzxfyzexyczbyax222qnmlgfecba,,,,,,,,,其中均为常数.球面、二次曲面.0qnzmy如:双曲柱面等)某些柱面(圆柱面、抛物柱面、一次曲面.都是二次曲面.曲面及其方程21现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.1222222czbyaxzqypx22221222222czbyaxzqypx22221222222czbyax或称为二次曲面的标准方程.曲面及其方程1222222czbyax22研究的方法是采用截痕法.以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面.从而了解曲面即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,的全貌.曲面及其方程232.椭球面(椭圆面)1222222czbyax(ellipsoid)曲面及其方程)0,0,0(cba由方程可知,1,1,1222222czbyax即,||,||,||czbyax这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内.czbyax,,24曲面及其方程先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：012222yczax012222zbyax去截这个曲面,所得截痕的方程是)||0(11czzz012222xczby1222222czbyax1z000这些截痕都是椭圆.再用平行于xOy面的平面122122221zzczbyax这些截痕也都是椭圆.25椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.曲面及其方程与平面,1xx1yy椭圆.同理,的截痕也是1222222czbyax1x1yzxyOxyzO26椭球面的几种特殊情况:)1(1222222czayax旋转椭球面12222czax由椭圆旋转椭球面与椭球面的区别：122222czayx方程可写为与平面1zz)||(1cz(ellipsoidalsurfaceofrevolution)ba1222222czbyaxa绕z轴旋转而成.的交线为圆.曲面及其方程27cba)2(1222222azayax球面2222azyx12122222)(zzzccayx截面上圆的方程方程可写为sphericalsurface曲面及其方程xyzO283.抛物面zqypx2222（与同号）pq椭圆抛物面用截痕法讨论：用平面)0(zxOy设0,0qp原点叫做椭圆抛物面的(paraboloid)elliptic(al)paraboloid去截这曲面,顶点.0(1)曲面及其方程截痕为原点.用平面1zz11212122zzqzypzx)0(1z去截这曲面,截痕为椭圆.,01时当z截痕退缩为原点;,01时当z截痕不存在.1z29用坐标面)0(yxOz022ypzx截痕为抛物线.zqypx2222(2)0曲面及其方程去截这曲面,用平面1yy121222yyqyzpx它的轴平行于轴z顶点qyy2,,0211去截这曲面,截痕为抛物线.1y30用坐标面)0(xyOz1xx同理当0,0qpzqypx2222(3)时可类似讨论.01x曲面及其方程去截这曲面,及平面截痕为抛物线.0,0qp0,0qp椭圆抛物面的图形如下：zxyOOzxyxyzO31,时当qpzpypx2222旋转抛物面)0(p(由面上的抛物线xOzpzx2211222zzpzyx用平面1zz)0(1z当变动时，这种圆的中心都在轴上.1zzparaboloidofrevolution特殊地方程变为zqypx2222而成的)pp1z曲面及其方程去截这曲面,截痕为圆.绕z轴旋转32zqypx2222（与同号）pq双曲抛物面用截痕法讨论：设0,0qp图形如下：有两个异号的平方项,另一变量方程z=xy表示什么曲面？马鞍面hyperbolicparaboloid特点是:是一次项,无常数项.(马鞍面)曲面及其方程xyzO334.双曲面单叶双曲面1222222czbyax特点是:(hyperboloid)(unipartedhyperboloid)平方项有一个取负号,另两个取正号.0曲面及其方程炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面的形状.OxyzxyzO34类似地,1222222czbyax　1222222czbyax　　亦表示想一想单叶双曲面1222222czbyax单叶双曲面.方程以上两方程的图形是与此图形一样吗?曲面及其方程Oxyz35双叶双曲面1222222czbyax1222222czbyax或特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.(bipartedhyperboloid)它分成上、下两个曲面.注曲面及其方程xyzO36类似地,1222222czbyax或1222222czbyax亦表示以上两方程的图形是与此图形1222222czbyax1222222czbyax双叶双曲面或方程双叶双曲面.一样吗曲面及其方程xyzO37方程表示()(A)双曲柱面;(D)锥面.(C)双叶双曲面;(B)旋转双曲面;B椭圆抛物面双曲抛物面(马鞍面）填空设有曲面方程则方程表示的曲面为,0,222时当pqzqypx方程表示的曲面为,0时当pq14222zyx曲面及其方程选择38上海交大,填空,(90级)是0132222zyx双叶双曲面,它的对称轴在轴上.y上海交大,填空,(95级).43222面所表示