大学课件 高等数学 微分方程

1第十二章微分方程differentialequation2利用函数关系可以对客观事物作定量分析.但在许多实际问题中,而根据问题所服从的客观含有未知函数的导数或微分的关系式,关系式称为对它进行研究确定出未知实际上就解决了最不能直接找出所需要的函数关系,只能列出把这样的牛顿和莱布尼茨)(xfy求解问题.微分方程.规律,函数的过程就是确定的微积分运算的互逆性,简单的微分方程解微分方程.第十二章微分方程3本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法,1.微分方程的基本概念;2.一阶微分方程;3.几种可积的高阶微分方程;4.线性微分方程及其通解的结构;5.常系数齐次线性方程;6.常系数非齐次线性方程.讨论如下几个问题:第十二章微分方程4问题的提出基本概念小结思考题作业(differentialequation)第一节微分方程的基本概念第十二章微分方程5解xxy2ddxxyd2,2Cxy即求得可直接积分的方程.12xy,1C)(xyy例一曲线通过点),2,1(且在该曲线上任一点),(yxM处的切线的斜率为,2x求这曲线的方程.一、问题的提出微分方程的基本概念设所求曲线为所求曲线方程为6解4.0dd22ts,0时ttsvdd2122.0CtCts,0s14.0Ct,201C02C20ddtsv).(tss可直接积分的方程例列车在平直的线路上以秒米20的速度行驶,当制动时列车获得加速度,4.02秒米问开始制动后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内行驶了多少路程?微分方程的基本概念设制动后t秒钟行驶s米,7,202.02tts,204.0ddttsv故4.020t).(5005020502.02米s得到开始制动到列车完全停住共需时间),(50秒,0v令,50t得到列车在这段时间内行驶的路程微分方程的基本概念8我们所学习的不定积分,实际上就是求解有些微分方程虽不象但经过化简,可以变成以上的形式.这些方程也可看作可直接积分的方程.这样简单,最简单的一类微分方程.微分方程的基本概念9如xyy0dd)(2xxtxtxeyyy32yxxz二、基本概念凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称微分方程.常微分方程;未知函数是多元函数的方程为偏微分方程.微分方程的阶.一阶一阶二阶一阶微分方程的基本概念10代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.微分方程的解的分类(1)通解微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解确定了通解中任意常数以后的解.如方程Cxy2.12xy,2ddxxy通解,4.0dd22ts2122.0CtCts通解特解特解.202.02tts微分方程的基本概念11初始条件用来确定任意常数的条件.注通解和特解是一般和特殊的关系.曲线通过点(1,2).如前例,初值问题(柯西问题)求微分方程满足初始条件的解的问题.解的图象通解的图象微分方程的积分曲线.积分曲线族.微分方程的基本概念12是过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶二阶0000,),,(yyyyyyxfyxxxx是过定点且在定点的切线的斜率为定值几何意义几何意义定值的积分曲线.一般的n阶微分方程为,0),,,,()(nyyyxF).,,,,()1()(nnyyyxfy已解出最高阶导数的微分方程今后讨论微分方程的基本概念13解txdd22ddtxxtx和将22dd是微分方程验证：函数ktCktCxsincos21.0dd,00的特解tttxAxktkCktkCcossin21ktCkktCksincos2212例的表达式代入原方程,0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk微分方程的基本概念.0dd222的解xktx并求满足初等条件14ktCktCxsincos21故Axt0.02C所求特解为.cosktAx,0dd222xktx且为通解.0dd0ttx又1CA而是原方程的解,0dd,00tttxAx微分方程的基本概念12dsincosdxkCktkCktt15试求下列微分方程在指定形式下的解:.,023的解形如rxeyyyy例解,yeyrx求将得,rxrey,yeyrx求将得,2rxeryyyy,,将代入微分方程中,得0232rr0)1)(2(rr1,221rr得两个解.,221xxeyey微分方程的基本概念16例求含有两个任意常数C1,C2的曲线族满足的微分方程.解xxeCeCy221将求导得xxeCeCy221,2221xxeCeCy.4221xxeCeCy所求的微分方程12,,yyyCC将、、的式子联立消去、.02yyy便得到求曲线族满足的微分方程,具体方法是求导数,并消去任意常数.所以,若曲线族中含有两个任意常数,则需求到二阶导数.最后,看一个相反的问题微分方程的基本概念17微分方程微分方程的阶微分方程的解通解初始条件特解初值问题积分曲线四、小结微分方程的基本概念微分方程的基本概念:18思考题(是非题)微分方程的基本概念微分方程的通解是否包含它所有的解?非解答微分方程的通解不一定否包含它所有的解.例如,微分方程0d)3(d)4(234yyxxyx的通解为.112132Cyyxx其中C为任意常数.的通解为但它不能包含方程的解:.00yx或这种解称为奇解19作业习题12-1(263页）2.(3)(4)3.(1)4.(2)5.(1)(2)微分方程的基本概念