大学课件 高等数学 无穷级数

1第十一章无穷级数infiniteseriesR2常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的必要条件小结思考题作业第十一章无穷级数constantterminfiniteseries第一节常数项级数的概念和性质3为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具(如计算函数值、出它的威力.在自然科学和工程技术中,也常用无穷无穷级数是数和函数的一种表现形式.因无穷级数中包含有许多非初等函数,故它在积分运算和微分方程求解时,也呈现如谐波分析等.造函数值表）.级数来分析问题,常数项级数的概念41.级数的定义nnnuuuuu3211(常数项)无穷级数一般项如;1031003103n;1)1(41312111nn.)1(11111n以上均为(常)数项级数.(1)常数项级数的概念一、常数项级数的概念5这样,级数(1)对应一个部分和数列:nnuuus21称无穷级数(1)的,11us,212uus,3213uuus,21nnuuus2.级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数(1)的,无穷级数定义式(1)的含义是什么?也算不完,永远那么如何计算?前n项和部分和.niiu1常数项级数的概念6部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限.定义,无限增大时当n,ssn有极限数列,1收敛nnu.1的和叫做级数这时极限nnusnuuus21,没有极限如果ns.1发散则称无穷级数nnu的部分和如果级数1nnu.limssnn即则称无穷级数并写成即常数项级数收敛(发散).nnslim(不存在)存在常数项级数的概念7nnssr21nnuu1iinu0limnnr对收敛级数(1),为级数(1)的余项或余和.显然有当n充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的.nnnuuuuu3211(1)称差ssn误差为||nr常数项级数的概念8例2)1(321nnnsn而nnslim所以,n321的部分和级数2)1(limnnn级数发散.常数项级数的概念9解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1qaqqan11(重要)例讨论等比级数(几何级数)的收敛性.)0(20aaqaqaqaaqnnn常数项级数的概念10,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn发散aaaa不存在nnslim发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn级数变为qaqqasnn11常数项级数的概念11讨论级数的敛散性.)0(ln31aann解例因为1ln3nna为公比的等比级数,是以aln故,1时当eae,1|ln|a级数收敛.发散.ea10当,1|ln|a发散时当收敛时当,1,10qqaqnn,时或ea常数项级数的概念12解)12)(12(1nnun)121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn例判定级数的收敛性.)12()12(1531311nn常数项级数的概念13)1211(21limlimnsnnn)1211(21nsn21,级数收敛其余项为nnssr12112121n即21s.21和为12121n常数项级数的概念14例12nnn因为nnns223222132ns2后式减前式,得nnnnnnns2)212()2223()2122(11122nnn2212121112证证明级数并求其和.收敛,12223221nnnnn2211211常数项级数的概念15nnnns2211211故nnsslim所以,此级数收敛,nnn22121且其和为2.)2212(lim1nnnn212nnn常数项级数的概念16的部分和分别为ns.n及则nnks于是,0时不存在极限且当ksn也不存在极限.nnks,ssn当nnks证性质1设常数,0k则11nnnnkuu与有相同的敛散性.11nnnnkuu与令nkukuku21;ks所以,11nnnnkuu与有相同的敛散性.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.常数项级数的概念二、收敛级数的基本性质12()nkuuu17性质2,11nnnnvu与设有两个级数,1sunn若,1nnv.)(1svunnn则1nnu若1nnv)(1nnnvu则发散.,1nnu若收敛,发散,1nnv均发散,)(1nnnvu则敛散性不确定.证niiivu1)(极限的性质niiinvu1)(limniinniinvu11limlim即证.级数的部分和niiv1niiu1结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.常数项级数的概念18例11131,21nnnn1121nn1121nn都收敛.131nn2111113131nn无穷递减等比数列的和qaS11发散时当收敛时当,1,10qqaqnn113121nnn31113125常数项级数的概念19,)1()1()1(都发散.但,111)]1(1[收敛.例000)]1(1[0常数项级数的概念20性质3添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.性质41nnu设级数收敛,则对其各项任意加括号所得新级数仍收敛于原级数的和.①一个级数加括号后所得新级数发散,则注原级数发散.事实上,加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛,则根据性常数项级数的概念质4,)11()11(例如1111收敛发散②一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定.210limnnu证1nnusnunnulimss0级数收敛的必要条件因为则所以1limlimnnnnss1nnss常数项级数的概念三、收敛级数的必要条件22注①级数收敛的必要条件,③必要条件不充分.0limnnu有n131211常用判别级数发散;如调和级数②也可用它求或验证极限为“0”的极限;0limnnu级数收敛的必要条件:但级数是否收敛常数项级数的概念23是否收敛?讨论n131211调和级数由于)1ln(xx)0(x知nn11ln1得nknkS11nn1ln34ln23ln2lnnn134232ln)1ln(n由nnSlim知级数发散.发散nkk111ln)1ln(limnn常数项级数的概念24例判别下列级数的敛散性)1(13)32)(12)(12(52nnnnnn)2(1)1(3nnnnn133ln31nnnn)3(级数收敛的必要条件常用判别级数发散.,0limnnu解题思路常数项级数的概念25)1(13)32)(12)(12(52nnnnnn解由于nnulim81发散0)32)(12)(12(52lim3nnnnnn)2(1)1(3nnnnn解由于nnulimnnn111lim30发散e3常数项级数的概念26133ln31nnnn)3(解11nn131nn而级数33lnr33ln||r所以这个等比级数133ln31nnnn发散.由性质2知,由性质1知,发散.因调和级数发散,为公比的等比级数,133lnnnn是以1收敛.常数项级数的概念271nnu设为收敛级数,a为非零常数,试判别级数1)(nnau的敛散性.解因为1nnu收敛,故.0limnnu从而)(limaunn0故级数1)(nnau发散.a0limnnu级数收敛的必要条件:常数项级数的概念28常数项级数的基本概念基本审敛法3.按基本性质则级数收敛由定义,,ssn若2.,0limnnu当则级数发散一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质常数项级数的概念四、小结级数收敛的必要条件记住等比级数(几何级数)的收敛性0nnaq1.29思考题,0limnnu若是非题.1必收敛则nnu,1发散若nnu.0limnnu则必有,0limnnu若.1发散则必有nnu非非是)1()2()3(常数项级数的概念30作业习题11-1(192页)1.(1)(3)2.(2)(3)(4)3.(2)(3)4.常数项级数的概念