大学课件 高等数学 一阶微分方程

1可分离变量的微分方程小结思考题作业一阶线性微分方程利用变量代换求解方程第二节一阶微分方程全微分方程伯努利(Bernoulli)方程第十二章微分方程2xxyyd)(d)(如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个可分离变量的方程)()(ygxfy0d)()(d)()(2121yyNxNxyMxM或可以写成0),,(yyxF的形式,易于化为形式特点变量的微分之积.两端积分可得通解.一阶微分方程一、可分离变量的微分方程3可分离变量的方程求通解的步骤是:分离变量,两边积分其中C为任意常数.),(Cxyy就是方程的通解分离变量法.的形式；把方程化为xxyyd)(d)(1.2.由上式确定的函数(隐式通解).这种解方程的方法称为将上式一阶微分方程()d()d;yyxxC4一阶微分方程例求方程的通解.0d)1(d)1(22yxyxyx解分离变量xxxyyyd1d122两端积分yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy)1(ln)1ln(22xCy)1(122xCy为方程的通解.Cln21隐式通解xxxd125一阶微分方程解xxyyyd1dln1xxyyd1lndln1CxylnlnlnlnCxlnCxylnCxey通解为ln.xyyy求方程的通解6注应用问题建立微分方程的方法:方法大体有两种第一种方法常见的物理定律有力学、热学、光学、电学直接利用物理定律或几何条件列出方程,的定律;第二种方法取小元素分析,然后利用物理定律列出方程(类似于定积分应用中的元素法).一阶微分方程7两端积分解,ddtM由题设条件)0(dd衰变系数MtMtMMdd,ddtMM,00MMt代入,lnlnCtM即00CeM得CteMM0分离变量负号是由于当t增加时M单调减少,tCeM通解特解例衰变问题.衰变速度与未衰变原子含量M成正比,,00MMt已知求衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律.一阶微分方程衰变规律衰变速度8一阶微分方程例求游船上的传染病人数.一只游船上有800人,12小时后有3人发病.故感染者不能被及时隔离.设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比.一名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状,直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解用y(t)表示发现首例病人后t小时时的感染人数,)(800ty表示t刻未受感染的人数,由题意,得d(800),dtykyy其中k0为比例常数.可分离变量微分方程分离变量,d)800(dtkyyy,1)0(y初始条件:3)12(y9一阶微分方程,d)800(dtkyyy即,dd800118001tkyyy两边积分,得,)]800ln([ln80011Cktyy通解ktCey8001800).(1800CeC,1)0(y初始条件3)12(y由初始条件,1)0(y得.799C再由,3)12(y便可确定出k800所以.7991800)(09176.0tety1797ln122397.09176.010一阶微分方程.7991800)(09176.0tety直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.下面计算72,60t小时时的感染者人数)60(y)72(y从上面数字可看出,在72小时疫苗运到时,感染的人数将是60小时感染人数的2倍.病流行时及时采取措施是至关重要的.可见在传染,18879918006009176.0e.38579918007209176.0e11有高为1米的半球形容器,解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度ghStVQ262.0dd一阶微分方程水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里流出,例小孔横截面积为1平方厘米(如图).水从它的底部小孔3221(100),(200)d3VhhdVhhh12hhhd)200(2,d262.0tgh,d)200(262.0d3hhhgt,)523400(262.053Chhgt,100|0th,101514262.05gC).310107(265.45335hhgt所求规律为一阶微分方程可分离变量方程13一阶微分方程2001年北方交大期末考题(8分)推进器停止工作,已知船受水的阻力与船速的平方成正比(比例系问经过多少时间,船的速度减为原速度的一半?解由题意2ddmkvtvm0)0(vvCktv1初始条件011vktv01vC,20时当vv01kvt即得.解得当轮船的前进速度为v0时,数为mk,其中k0为常数,而m为船的质量).14,2lnd2)()(20ttfxfxfx满足关系式设).()(xf则;2ln.xeA;2ln.2xeB;2ln.xeC2ln.2xeD分析有两种方法其一，将所给选项代入关系式直接验算，B(B)正确.其二，对积分关系式两边求导化为微分方程,并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程所应满足的初始条件.一阶微分方程1991年考研数学一,3分15一般,未知函数含于变上限的积分中时,常可通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出初始条件而解之.解)(xf)(2)(xfxffx222可分离变量方程xxfxfd2)()(d两边积分Cxxfln2)(lnxCexf2)(由原关系式2ln)0(f,2lnC得得.2ln)(2xexf分离变量一阶微分方程20()dln2,2xtfxft将关系式两边求导16二、一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy一阶线性微分方程的标准形式,0)(xQ当上面方程称为上面方程称为,0)(xQ当如,dd2xyxy,sindd2ttxtx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.齐次的;非齐次的.线性一阶自由项一阶微分方程17.0)(ddyxPxy,d)(dxxPyy,d)(dxxPyy齐次方程的通解为xxPCeyd)(1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(C1为任意常数))(1CeC一阶微分方程1ln||()dln,yPxxC182.线性非齐次方程yxPxy)(dd线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.,d)(xxPCe显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性.设想)()(ddxQyxPxy非齐次方程待定函数线性齐次方程的通解是但它们)(xQ一阶微分方程xxPeyd)()(xC的解是19xxPexCyd)()(,代入原方程和将yy)(xQxxPxxPexPxCexCd)(d)()()()(xxPexCxPd)()()(从而C(x)满足方程,)(d)(求导对xxPexCy得)(xC)]([xPxxPed)(得)()(ddxQyxPxy)()(d)(xQexCxxP一阶微分方程)()(ddxQyxPxy20即xxPexQxCd)()()(xexQxCxxPd)()(d)(C一阶线性非齐次微分方程的通解为]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxPxxPexCyd)()(设常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.一阶微分方程xdxdd()().dyPxyQxx是的解21xxPCed)(非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP一阶线性方程解的结构xexQexxPxxPd)(d)(d)(注一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用.一阶微分方程)()(ddxQyxPxy22.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQxxeyd1Cxxxdsin1Cxxcos1解例一阶线性非齐次方程xxsinxxed1xdC一阶微分方程]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP2323)(yxxyxxy03d23xyy解xxxf0d)(积分方程一阶微分方程例如图所示,平行于y轴的动直线被曲线y=f(x)阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程yyx23即xyO3xy)(xfyxPQ截下的线段PQ之长数值上等于求曲线y=f(x).3(0)yxx与240000Cxexeyxxd3d2d6632xxCex0|xy6C得所求曲线为)222(32xxeyx23xyy,1)(xP23)(xxQ一阶微分方程xyxxy03d00025一阶微分方程例静脉输液问题.静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术.研究这一过程,设G(t)为时刻t血液中葡萄糖含量,min)(gk与此血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移其速率与血液中的葡萄糖含量成正比.试列出描述这一现象的微分方程,为了到其他地方,含量.糖以常数同时,解因为血液中的葡萄糖含量的变化率tGdd加速率与减少速率之差,等于增而增加速率为减少速率为,G其中为正的比例常数,所以需要知道t时刻中血液中的葡萄糖且设葡萄的固定速率输入到血液中,并解之.常数k,,ddGktG26一阶微分方程,ddGktG即.ddkGtG关于G的一阶线性非齐次方程由通解公式,得]d[)(ddCteketGtt设G(0)表示最初血液中葡萄糖含量,,)0(kGC于是.])0([)(tekGktG定出则可确.tCek27解初值问题:10cos2)1(02xyxxyyx解将方程写为1cos1222xxyxxy)(xP)sin(112xCx由初始条件10xy特解21sin1xxy)(xQ,1C一阶非齐次线性方程一阶微分方程]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxP2222dd112cosd1xxxxxxxyeexCx28例解方程0d)ln(dlnyyxxyy若将方程写成yxyyxylnlndd则它既不是线性方程,又不能分离变量.若将方程写成yyyxyxlnlnddyxyy1ln1以x为未知函数,即yxyyyx1ln1dd一阶非齐次线性方程.分析y为自变量的一阶微分方程29Cyeyexyyyyyyd1dln1dln1Cyyyydln1ln1yCylnln21此外,y=1也是原方程的解.解yxyyyx1ln1dd一阶微分方程)(yP)(yQ]d)([d)(d)(CxexQeyxxPxxPlnd(ln)d0yyxxyy30注参数形式的.解方程时,通常不计较哪个是自变量哪个是因变量,视方便而定,关系.关键在于找到两个变量间的解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是一阶微分方程31)(xQ)(xP的通解为微分方程xxyycostan解y这是典型的一阶线性方程.分析由通解公式有Cxexeyxxxxdcosdtandtan一阶微分方程1992年考研数学一,3分()cosxCx()cosxCx322002年考研数学二,7分求微分方程0d)2(dxyxyx的一个解),(xyy与直线2,1xx以及x轴