大学课件 工程数学 第3讲

第三讲解析函数的充要条件初等函数1.解析函数的充要条件2.举例§2.2解析函数的充要条件如果复变函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域D内处处可导，则函数w=f(z)在D内解析。本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题除定义外，如何判断函数的解析性呢？一.解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu)],(),([)],(),([则可导在点设函数,),(),()(iyxzyxivyxuzfwzzfzzf)()(()wfz（先考虑函数可导的必要性）xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000)0(yzzz若沿平行于实轴的方式xvixuyiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz),(),(lim),(),(lim)],(),([)],(),([lim)()(lim)(0000)0(xzzz若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui1yuxvyvxuyuiyvxvixuzf)('存在记忆yvxvyuxu定义方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).yuxvyvxu定理1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则f(z)在点z=x+iy∈D处可导的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足Cauchy-Riemann方程yuxvyvxu上述条件满足时,有xyyyyxxxivviuviuuivuzf)('证明（由f(z)的可导C-R方程满足上面已证！只须证f(z)的可导函数u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函数w=f(z)点z可导，即)(')()()(zfzzfzzfz设则f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δz+(Δz)Δz(1),且zzfzzfzfz)()(lim)('00)(lim0zzΔu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔxbΔy+1Δx2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)令：f(z+Δz)f(z)=Δu+iΔv，f(z)=a+ib，(Δz)=1+i2故（1）式可写为因此Δu=aΔxbΔy+1Δx2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx1Δy0)(lim0zz0limlim200100yxyx0lim2100zyxyx0lim1200zyxyx所以u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处可微.（由函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处可微及满足C-R方程f(z)在点z=x+iy处可导）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：yxyyuxxuu21yxyyvxxvv43)4,3,21(,0lim00，其中kkyxyixiyyviyuxxvixuviuzfzzf)()()()()()(4231yixizxvixuRC)()()(4231方程由0)(1||,1||31izxzyzxxvixuzzfzzfzfz)()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf)()()()(4231定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内解析充要条件是u(x,y)和v(x,y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程yuxvyvxu由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.利用该定理可以判断那些函数是不可导的.使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，ii)验证C-R条件.iii)求导数：yvyuixvixuzf1)('前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.二.举例2)3()sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx；例1判定下列函数在何处可导，在何处解析：解(1)设z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y则1001uuxyvvxyuvxywz故在全平面不可导，不解析。解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsinycossinsincosxxxxuueyeyxyvveyeyxy)(sincos)('zfyieyexvixuzfxxuvxyvuxy()(cossin)xfzeyiy从而在全平面可导，解析。,uv且偏导均连续，故f(z)可微仅在点z=0处满足C-R条件，故。处可导，但处处不解析仅在02zzw解(3)设z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0则0022yvxvyyuxxu例2求证函数.0),(),(2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求在证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：,)(22222yxxyyvxu222)(2yxxyxvyu故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzwDzCzfDzzf,)(,0)('若例3复常数）()(001)('2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx证明例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，这里C1、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、vy均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为1/xykuuyxvvk/201)('yvyuizf0不全为与yvyu解利用C-R方程ux=vy,uy=-vx有12////xyxyxyyxkkuuvvuuuu（)(）（)(-）=-1ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。?)(,,,,)()(2222在复平面内处处解析取何值时问常数若zfdcbaydxycxibyaxyxzf练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2即两族曲线互相交.1.指数函数2.对数函数3.乘幂与幂函数4.三角函数和双曲函数5.反三角函数与反双曲函数§2.3初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内容简介一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：0exp)1(zz)0exp,(xez事实上xezzfxzexp)(,)2(时为实数当)0(y))2(12§(的例见,2,1,02)expArg(expkkyzezx定义.exp)(expexp)()3(zzzzf且在复平面上处处解析，exp:()expzxiyzzfzz对定义复变数的指数函数如下xyixyizeeee加法定理前(cossin)xeyiy12exp()zz右边e.xpzez为了方便，用代替(1,2)jjjzxiyj设证12expexpzz左边121122(cossin)(cossin)xxeyiyeyiy1212121212[coscossinsin(sincoscossin)]xxeyyyyiyyyy121212[cos()sin()]xxeyyiyy=xyixyieee特别地，)exp(expexp:)4(2121zzzz加法定理:)(的周期性由加法定理可推得zezfZkikTzfTzf,2),()(.2)()2sin2(cos)2(,22为任意整数事实上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz这个性质是实变指数函数所没有的。0(cos()sin())11zzxxeeeyyiyye又2121zzzzeee1zzee没有幂的意义.它的定义为仅仅是个符号，)sin(cos,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2(公式就得时,的实部特别当到)Im(zie求例1ie141求例2xeysinie12241二.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，Lnzwzfwzzew记作称为对数函数的函数把满足,)()0(iwuivzre令那么),1,0()2(lnkkirLnzw),2,1,0()2(arglnArglnkkzizzizLnz或(1)对数的定义ln,2()uiviereurvkkZ.2,,,)0(的一个整数倍相差其任意两个相异值即虚部无穷多角的一般值的幅的虚部是的模的实自然对数；它实部是它的的对数仍为复数这说明一个复数zzzz的无穷多值函数是即zLnzw,0,lnargln(2),()kLnzzizzLnzLnz记作当时为的一单值函数称的主值为主值支ln2()LnzzikkZ故lnln(arg2)()LnzzizzizkkZArgikLniia)12()1(1ln)1ln(1.(负数也有对数),Lnz1)复数都有意义对一切非零不仅对正数有意义w0lnzaLnzzLnz例如当的主值(0)lnzaaLnzzLnz当的主值特别lnlnarg,zzizln2()LnzzikkZlnaln2akikZlnailn(21)aki(2)对数函数的性质.,这与实函数不同多值性了对数函数的指数函数的周期性导致2)21212121,)()1LnzLnzzzLnLnzLnzzzLn.ln:)2处处连续在除去原点与负实轴外连续性z,arglnln:zizz主值;ln续除原点外在其它点均连其中z.arg连续在原点与负实轴上都不而z见§1-6例1.ln,在复平面内处处连续除原点及负实轴外z0)'(eeezzeddzzdzd111)'(lnzz1)'(ln即.ln析的除原点及负实轴外是解z.ln:)3平面内解析在除去原点与负实轴的解析性zzLnzLnz1)'(且