大学课件 工程数学 第4讲

第四讲复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念§3.2柯西-古萨基本定理§3.3基本定理的推广§3.4原函数与不定积分§3.5柯西积分公式§3.6解析函数的高阶导数§3.7解析函数与调和函数的关系第三章复变函数的积分1.有向曲线2.积分的定义3.积分存在的条件及其计算法4.积分性质§3.1复变函数积分的概念1.有向曲线0)]('[)]('[],,[)(')(')()()(:22tytxCtytxttyytxxC且、设)1()()()()(:ttiytxtzC0)(')('tztz连续且.平面上的一条光滑曲线zC光滑或分段光滑曲线约定C:).(因而可求长左边。的内部一直在观察者的一周前进观察者顺此方向沿正方向闭曲线CC,::的方向规定CCA(起点)B(终点)CC;,,,,:Cabbaba记作为负则为正若终点指定起点开曲线2.积分的定义BzzzAnABn,,,:)3(10小弧段个任意分划成将⌒kkkkkzfzz)()4(1作乘积⌒}{max,,)()5(1111knkkkkkkknkkknSzzSzzzzfS的长度为记作和式⌒Dzzfw)()1(设定义.)2(的一条光滑有向曲线点内点为区域BADCDABxyo11z1kzkkz1nzkz)2()(lim1)(0Izfnkkkn若如何取无论如何分割iC,CdzzfBACzf)(,)()(记作的积分从沿曲线为则称)3()(lim)(.,.1nkkknCzfdzzfeiCdzzfC)()1(记作若闭曲线baCdttudzzftuzfbatC)()(),()(],,[:)2(则取极限求和取乘积分割关。和的形状还不仅因为一般不能写成存在如果方向有与曲线有关,与.,CbadzzfdzzfdzzfCbaC,)()()()3(3.积分存在的条件及其计算法CdzzfCzfCyxivyxuzf.)(,)(,),(),()(存在即可积必沿上连续时在光滑曲线当定理)4()(CCCudyvdxivdyudxdzzf且.)(积分来计算实变函数的可通过二个二元这个定理表明第二型曲线CdzzfCidydxivu))((记忆kkkkkkkkkkkkkkkkkkvvuuiyyyxxxiyxz),(),(11令)5(]),(),([),(),(1111nkkkknkkkknkkkknkkkkyuxviyvxunkkkkknkkknyixivuzfS11))(()(CCCCCnkkknnndzzfdyyxudxyxvidyyxvdxyxuzfS)()),(),(()),(),(()(limlim1证明.0实函数的曲线积分时，均是当!),(),(),(),(存在、、、CCCCdyyxudxyxvdyyxvdxyxu都故上连续在上连续在CyxvyxuCzf),(),,(,)(Cdyyxudyyxvidyyxvdxyxu]),(),([),(),(一定存在。是光滑曲线时，函数是：当推论cdzzfCzf)(,)(1连续线积分来计算。数的可以通过两个二元实函：推论cdzzf)(2)()()()()}('))()(()('))(),(({)}('))(),(()('))(),(({)(终起终起dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfCdttztzf)(')]([dttiytxtytxvitytxu))(')(')]]}((),([[)](),([{:)()()(:ttiytxtzzC设光滑曲线由曲线积分的计算法得)6()(')]([)(dttztzfdzzfCnCCCCndzzfdzzfCCCC)()()()42121分段光滑曲线.)()()()(,)5估值定理上满足在函数的长度为设MLdszfdzzfMzfCzfLCCC4.积分性质CCdzzfdzzf)()()1CCdzzfkdzzkf)()()2CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()]()([)3由积分定义得：3:(01)4CxtzdzCOAtyt计算例110(343))(4iittd2102)43(21)43(itdtiAoxy()[()]'()Cfzdzfztztdt积分计算公式：解Czdz3:(01)4CxtzdzCOAtyt计算例121(34)2Czdzi解CCidydxiyxzdz))((,,无关右边两个积分都与路径容易验证2)43(21)(:idzzfCOAC，其上积分的曲线连接CCxdyydxiydyxdx又解Aoxy(,,0)xyPxQyQP.,,)(010为整数为半径的正向圆周为中心表示以这里计算nrzCzzdzCn例220:0irezzC解oxyirezz0z0zrC00)sin(cos02202020ndninrinididerininnCnzzdz10)(20)1(1derirenini0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCn.,0应记住以后经常用到,这个结果无关及这个结果与半径zroxyiz101C2C3C)()2)13201见图的值计算CCCOzCCdzzC例310)1(:)11ttizC解12)1)((1010tdtdtiittdzzC101:10:)232titzCttzC32CCCdzzdzzdzziiidtittdt1)21(21)1(1010.1;,1,,2121向的下半圆周，逆时针方是单位圆顺时针方向的上半圆周是单位圆其中的值计算zCzCdzzdzzCC11):,0iCze从到解:idtidieedzziiC00122):,-0.iCze从到idtidieedzziiC002例4分析§1的积分例子:dzzfdzzfdzzfCzzfBACC)()()(,)(1＝与路径无关，即即，的积分值相同，任意它沿连接起点及终点的在全平面解析中例解析。的非单连通区域内处处但在除去即不解析的点为奇点中例000,,02120zzzzidzzzrzz§3.2Cauchy-Goursat基本定理.,)(3有关的值与积分路径在复平面上处处不解析中例CdzzzzfC由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨)(',)(内连续在且内处处解析在单连通设DzfDivuzfyxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu方程并满足都是连续的内在以及它们的偏导数和,,,,CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公式由cdzzf0)(yyxxiuvivuzf)('.)(',1900这一条件去掉了连续将且定理的新证明给出了年zfCauchyGoursat0)()(1825cdzzfCDzfDCauchy的积分内沿任一条闭曲线在处处解析的内单连通区域给出了年.,)('内连续且在存在当时解析的定义为Dzf.1851简单证明定理的上述给出了年CauchyRiemann—Cauchy定理)(':,内存在在改为从此解析函数的定义修定理这就产生了著名的DzfGoursatCauchy定理仍成立.连续,在内解析在的边界为若上BCBzfBzfBC)(,)(,)2(.0)(,)(CdzzfBCBzzf内任一条闭曲线为内解析平面上单连通区域在设Cauchy-Goursat基本定理：.,)(,)1(定理仍成立解析上在的边界为若BCBzfBCBC—也称Cauchy定理(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。BBC推论设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1∈B,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。C1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf见上图z1z0C1C2C1C2z0z1.,),(,,,:21顺时针是逆时针及每一条曲线互不包含也不相交闭曲线的内部的简单是在闭其中iinCCCCCCCDC121.,(),()0(1)()()(2)inncciBCCCCBDfzDfzdzfzdzfzdz设①是由所围成的有界多连通区域且②在内解析则或复合闭路定理：§3.3基本定理推广—复合闭路定理12112233()()cccLLLLLLfzdzfzdz证明''''''()()0AAEEFFHAAGFFEEAAfzdzfzdz21CCC设DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GHidzzzzCC2100有：内的正向简单闭曲线在包含如：对任意说明kkCCCCCC21:,,)1(三者之间的关系(2),:,.kkCCCC的特点与曲线的正向按逆时针方向按顺时针方向kkcccccccdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()()(0)3(121kcccdzzfdzzfdzzf)()()(11)()(ccdzzfdzzf此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.—闭路变形原理DCC1C1C1C1C1.1:122任意正向简单闭曲线在内的包含圆周计算zdzzzz例11()1dzzz原式)01,011(21CCdzzdzz21111CCdzdzzz解C1C21xyo1212111CCCCdzdzzz224iii.1:12任意正向简单闭曲线在内的包含圆周计算zdzzz练习11()1dzzz原式)01,011(21CCdzzdzz21111CCdzdzzz解C1C21xyo1212111CCCCdzdzzz220ii作业P991,2,5,7(1)(2)