大学课件 工程数学 第6讲

第六讲解析函数与调和函数的关系在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。内容简介§3.7解析函数与调和函数的关系()(,)(,)(,)(,)fzuxyivxyDuuxyvvxyD若在区域内解析，是内的定理调和函数。2222(,):00)(,).xyDLaplacexyxyD若二元实变函数在内(1)具有二阶连续偏导数(定义12)满足方程即（则称为内的调和函数证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则xvyuyvxuRC方程由yxvyuxyvxu222222从而有xyvyxvyxvyxu22.),(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0D2222yuxu内有故在02222yvxv同理有0,0vu2222yx其中即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:内的调和函数。是，Dyxvvyxuu),(),(u(x,y)D,u+ivDv(x,y)u(x,y).设为内的调和函数称使得在内构成定义2解析函数的调和函数为的共轭调和函数上面定理说明：.部的共轭调和函数内解析函数的虚部是实D.),(),(),(),()(,的共轭调和函数必为内在内解析在即yxuuyxvDDyxivyxuzf由解析的概念得：.,,,:的共轭调和函数必为调和函数的两个方程内满足在uvvuvuvuRCDxyyx.,,一定解析内就不在则内的两个调和函数区域是任意选取的在若DivuDvu现在研究反过来的问题：.的共轭调和函数不是yxuyxv如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf处处不解析平面上在（由此，的共轭调和函数必须是方程，即还必须满足及内解析在要想使.,uvRCvuDivu(,)(,),uxyvxy已知实部求虚部CR利用方程待求解析函数.uiv从而构成解析函数(,)vxy虚部(,)uxy实部然后两端积分。由求其共轭调和函数已知：方程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC:),(),,()(),(),(),(00cdyxudxyuyxvyxyx详细过程：)(),(),(),(00cdyvdxvyxuyxyxxyCRyxuududxdyvdxvdyxy方程由类似地，然后两端积分得，(,)(,),vxyuxy已知虚部求实部调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用。本节介绍了调和函数与解析函数的关系。iifyxyxuivuzf1)()(22由下列条件求解析函数例122vuvuxyyxyxxy解1(,)(0,0)(,)(2)(2)xyvxyyxdxxydyc曲线积分法(2)(2)vvdvdxdyyxdxxydyxy0(2)xyoxdxxydyc22222xyxyc222211()()(2)22fzxyxyixxyyc故2(1)12iiici21()(1)222iicfzz()1,0,1fiixy即代入上式得22ydxxdyxdxydydyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2(解222(,)222xyvxyxyc)21221()()(2222cyxyxixyyxzf凑全微分法222()22xydxyd)(2222xyxyvyxyv)21221()()(2222cyxyxixyyxzf解3偏积分法xyxyxvxv2)('2cxx2)(2cxyxyyxv222),(22xx)(')2()2()('yxiyxiuuivuzfyxxx)21221()()(2222cyxyxixyyxzf解4不定积分法))(2()()(2iyxiiyxiiyxzi2iczizf222)(1.复数列的极限2.级数的概念第四章级数CH4§4.1复数项级数1.复数列的极限定义,),,2,1}({nnnniban＝其中设复数列：，iba又设复常数：时的极限，当称为复数列那么，恒有若nNnNnn}{,,0,0定理1.lim,limlimbbaannnnnn证明nnnNnN恒有即，”已知“,,0,0limlim,,{}.nnnnn记作或当时，此时，也称复数列收敛于.lim,lim)()()()(22bbaabbaabbaabbiaannnnnnnnnnnnn　　故又.lim)()(22,,0,0lim,limnnnnnnnnnnnnnbbaabbiaabbaaNnNbbaa故　　　　又，恒有即，　　”已知“2.级数的概念nnn211niinns121级数的前面n项的和---级数的部分和称为级数的和ssnnlim称为收敛－级数1nn不收敛称为发散－级数1nn定义),,,2,1}({}{nibannn设复数列：收敛若部分和数列}{ns---无穷级数例1解的敛散性。判别123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231又.3,i且和为级数收敛定理2都收敛。和收敛级数111nnnnnnba1111()nnnnnkkkkknnkkkksaibaibi证明limlim,limnnnnnnsaibab由定理１，11nnnnab和都收敛。由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题。.0lim:nn收敛的必要条件级数1nn性质定理3.1111nnnnnnnn收敛，且收敛若证明22nnnnnaibab收敛。得由定理均绝对收敛，和由比较判定法1112nnnnnnba1111,nnnnnkknkk2222,nnnnnnaabbab收敛.收敛若11nnnn?))1(:(1nnni例如定义.11111条件收敛为收敛，则称发散，而若为绝对收敛；收敛，则称若nnnnnnnnnn由定理3的证明过程，及不等式:22有nnnnbaba定理4都收敛。和收敛级数111nnnnnnba解.)1(111)1(1121发散收敛，发散，nnnninnn绝对收敛。收敛，000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1((21)1()3(111收敛收敛，收敛，nnnnnnninn例2否绝对收敛？下列级数是否收敛？是011)2)1(()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原级数非绝对收敛收敛，条件又nnn例3的敛散性。讨论0!nnnz解00,!!nnnnzrzrnn令练习：的敛散性。讨论011nnien的敛散性。讨论02cosnnin2cosnneein0!nnzn在复平面上处处绝对收敛。re1.幂级数的概念2.收敛定理3.收敛圆与收敛半径4.收敛半径的求法5.幂级数的运算和性质§4.2幂级数1.幂级数的概念定义设复变函数列：)1()()()()(211zfzfzfzfnnn,2,1,)}({nDzzfn---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和nkknnzfzfzfzfzs121)()()()()(---级数的部分和0000lim()(),(1),nnzDszszz若称级数在收敛00(),lim()(1),nnszsz其和为　不存在，称级数发散若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数＋)()()()(21zfzfzfzsn---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中0()()nnnfzczz令得00()(2);nnnczz000(3);nnnzcz当称为幂级数并不失一般性。研究级数中令在)3()2()2(00kknczz2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）.,,)0(000级数必绝对收敛的　　则对满足收敛在⑴若级数zzzzzzcnnn.,,00　级数必发散　的则对满足发散⑵若级数在zzzzz,2,1,0,,,,,,max00202010nMzczczczccMnnNN故取证明，即则收敛0lim,)1(000nnnnnnzczcnnzcNnN000，恒有，，1,00qzzzz则若,00nnnnnnMqzzzczc,0收敛由于nnMq,0收敛由比较判别法得nnnzc绝对收敛。0nnnzc(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径收敛，，有设01011,nnnzczzz由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。！收敛与假设矛盾，得证知由00)1(nnnzc(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。.)3(:)3(:发散数外，级在圆周收敛；内，级数定理，在圆周由zczcAble.,0,,0)(00发散使得　收敛使得nnnnnncciii显然，否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故蓝两色的分界线。为红、一定,RzcR：播放RRc(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.00()nnnczz0nnncz4.收敛半径的求法0(3)nnncz关于幂级数的收敛半径求法，有定理2(比值法)000/1lim1Rccnnn，则若zzcczczcinnnnnnnn111limlim,0)(证明011,,nnnzzcz当时即时绝对收敛；011,nnnzzcz当时，即时发散，!,01矛盾收敛nnnzc.1:0也发散时，当以下证nnnzcz0001,,nnnzzcz用反证法设在外有一点，收敛