大学课件 高等数学 隐函数的求导公式

1一个方程的情形方程组的情形小结思考题作业(implicitfunction)第五节隐函数的求导公式第八章多元函数微分法及其应用2隐函数在实际问题中是常见的.平面曲线方程空间曲面方程空间曲线方程下面讨论如何由隐函数方程0),(yxF0),,(zyxF0),,(0),,(zyxGzyxF如求偏导数.隐函数的求导公式3一、一个方程的情形在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)0),(.1yxF)1(0),(yxF的求导法.并指出:曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.隐函数的求导公式4隐函数存在定理1),(yxF),(00yxP隐函数的求导公式设二元函数的某一邻域内满足:在点,0),(00yxFy则方程;0),(00yxF),(xfy),(00xfy的某一邻域内并有),(),(ddyxFyxFxyyx(1)具有连续偏导数;0),(yxF),(00yxP它满足条件在点隐函数的求导公式(2)(3)恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,),(xF由全导数公式,得)(xf05连续，由于),(yxFy，且0),(00yxFy,0),(yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx或简写:.ddyxFFxy),(00yx于是得隐函数的求导公式所以存在的一个邻域,在这个邻域内),(yxFx),(yxFyxydd0),(xF)(xf06如,方程,0yxeexy记,),(yxeexyyxF;0)0,0(F(1)xxeyyxF),(yyexyxF),(与)0,0(在点的邻域内连续;,01)0,0(yF所以方程在点)0,0(附近确定一个有连续导数、且yxFFxydd.yxexey隐函数的求导公式隐函数存在定理1的隐函数00yx时当),(xfy则(2)(3)7解令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFxydd.xyyx隐函数的求导公式例.dd,arctanln22xyxyyx求已知8),,(zyxF),,(000zyxP,0),,(000zyxFz则方程;0),,(000zyxF),,(yxfz),,(000yxfz内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内0),,(zyxF),,(000zyx函数它满足条件在点在点0),,(zyxF2.由三元方程确定二元隐函数),,(yxfz.,yzxz求隐函数存在定理2隐函数的求导公式的某一邻域,zxFFxz.zyFFyz(1)(2)(3)满足:9隐函数的求导公式(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,),,(yxF应用复合函数求导法得),(yxf0xFzFxz,0,zxFFxz.zyFFyz是方程所确定的隐设函数,则yFzFyz.0zF，且0),,(000zyxFz,0zF),,(000zyx点所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得10例,1222222czbyax已知.,2yxzyzxz及求解),,(zyxF1222222czbyax则,22axFx,22byFy22czFzxzzaxc22yzzbyc22令)0(z,zxFFxzzyFFyz看作是将时、、在求),,(,zyxFFFFzyx的zyx,,.三个自变量的函数隐函数的求导公式11将xzzaxc22yxz222axc22222)]([zazbycxc3224zbaxycyzzbyc22注再一次对y求偏导数,得对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.2z隐函数的求导公式zy12确定了隐函数设方程1zxyzxy.,2222yzxz试求分析在某函数(或方程)表达式中,自变量互换后,仍是原来的函数(或方程),称函数(或方程)用对称性可简化计算.解将方程两边对x求偏导,得关于自变量对称,yyxzyxz),,(yxzz将任意两个yxzzxxz0隐函数的求导公式13再将上式两边对x求偏导,yxzyxz得22xz2)()(2yxzy由x,y的对称性知,22yz2)()(2yxzx确定了隐函数设方程1zxyzxy.,2222yzxz试求),,(yxzz2)(yxxz)(yx)(zy1隐函数的求导公式14例设有隐函数,其中F的偏导数连续,0),(zyzxF求,xz.yz解令),(),,(zyzxFzyxGxGyGzGzxGGxzzyGGyz用复合函数求导法)(22yzF法一由公式.zxGGxz1F1z2F1z)(21xzF,211yFxFzF212yFxFzF,00隐函数的求导公式15将隐函数方程两边取全微分,zxFd1即1F故2121dddyFxFyzFxzFz从而,211yFxFzFxz此法步骤清楚法二利用全微分..212yFxFzFyz2F,0),(zyzxF求,xz.yzzyFd202ddzzxxz2ddzzyyz0得隐函数的求导公式16将方程两边求导.对x求偏导:uvuF即zuF1vFyuFxuFzxz自己练习z是x,y的函数!0),(zyzxF法三212yFxFzFyz012xzzyvFvF0xuxvxz21zx隐函数的求导公式171991年研究生考题,填空,3分2),(222zyxxyzyxf是由方程设函数yxd2d解法一用公式2),,(222zyxxyzzyxF设,22222zyxxyzxF,22222zyxyxzyF.22222zyxzxyzF隐函数的求导公式,1)1,0,1(xz,2)1,0,1(yz,(1,0,1)d()zz确定的则在点处的全微分(1,0,1)dd2dzxy18法二用全微分xyzd得2222zyxxyzyxzdzxyd2222d2d2d2zyxzzyyxx0,)1,0,1(代入上式将点yxzd2dd)1,0,1(隐函数的求导公式19解令,zyxu,xyzv则).,(vufz.,,),,(zyyxxzxyzzyxfz求设,xzxzvf整理得xzvuvuxyffyzff11.2.,yx),(yxyzxzfv)1(0yxfuuf)1(xz),(xzxyyz隐函数的求导公式把z看成x,y的函数对x求偏导数,得把x看成y,z的函数对y求偏导数,得20),(xyzzyxfz整理得,vuvuyzffxzffyx)1(1zyfu),(zyxzxyfv整理得zy.1vuvuxzffxyff3.,zy隐函数的求导公式把y看成x,z的函数对z求偏导数,得21隐函数的求导公式2002年在职攻读硕士学位全国联考(6分)zyxzeyexeyxzzzzu由方程且设),(,22.d,)1(uz求所确定解法一利用全微分.zzzud2d2dzzd)1(2xxexxeddyyeyyeddzzezzeddxxex)d(1yyey)d(1xxexexxddyyeyeyyddzzezezzddzzezd)(1)1(d)1(d)1(dzeyyexxezzyx].d)1(d)1[(2dyeyxexeuyxz222002年在职攻读硕士学位全国联考zyxzeyexeyxzzzzu由方程且设),(,22.d,)1(uz求所确定隐函数的求导公式解法二利用隐函数求导公式.令),,(zyxFzyxzeyexe,)1(xxexF,)1(yyeyF,)1(zzezF故,11zxezxxz,11zyezyyz).1(zxuyuyyuxxuuddd,)1(2zxexxzz)22(yzz)22(.)1(2zyey23二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF确定两个二元函数,xu,yu),,(yxuu求隐函数存在定理3.请看课本第34页,故由方程组求导方法.).,(yxvv,xv.yv隐函数的求导公式24将恒等式0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF两边关于x求偏导,xu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF解这个以,xuxv为未知量的线性方程组,由链导法则得:xGxFuFvFxv0uGxuvGxv0隐函数的求导公式,xu,yu求,xv.yv25解得00xvvGxuuGxGxvvFxuuFxF当系数行列式不为零时,即vGuGvFuF),(),(vuGFJ雅可比行列式.0Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851xuvGuGvFuFvGxGvFxFxvvGuGvFuFxGuGxFuF,),(),(1vxGFJ.),(),(1xuGFJ隐函数的求导公式26同理,vGuGvFuFvGyGvFyFyuvGuGvFuFyGuGyFuFyv,),(),(1vyGFJ.),(),(1yuGFJ0)),(),,(,,(0)),(),,(,,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF00yvvGyuuGyGyvvFyuuFyF两边关于y求偏导,得隐函数的求导公式,xu,yu求,xv.yv27特,0),,(0),,(时vuxGvuxF如果方程组它可能确定两个现假定它确定),(),(xvvxuu且两个函数都则求xvxudddd与的方法同前面求与xuxv的方法相同.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF为可微,别一元函数,隐函数的求导公式28例)0,0(,212222zyzyxzyx设及求xzxydd,dd.dd,dd11xxxzxy解分析),(xyy).(xzz直接代入公式；法一令,2),,(zyxzyxF.21),,(222zyxzyxG0),,(0),,(zyxGzyxF),(),(),(),(ddzyGFzxGFxy),(),(),(),(ddzyGFxyGFxz,1xF,1yF,1zF,2xxG,2yyG,zzG隐函数的求导公式29),(),(zyGFJ,1xF,1yF,1