高中数学课件：圆的方程

高中数学课件：圆的方程一、“基础知识”掌握牢1．圆的定义及方程定义平面内到的距离等于的点的轨迹叫做圆圆心：标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)半径：r圆心：___________一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)半径：________________定点定长(a，b)－D2，－E2r＝D2＋E2－4F22.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据___到的距离与半径的大小关系(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内圆心＝[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．点二、“基本技能”运用好1．通过对圆的两种方程的复习，提高学生的抽象概括能力．2．通过求解圆的方程，提高学生的空间想象和运算求解能力．1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B.(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：因为圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．答案：D2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案：D3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是()A．(－1,1)B.(0,1)C.－1，15D.－15，1解析：由(2a)2＋(a－2)2＜5，得－15＜a＜1.答案：D三、“基本思想”很重要1．利用数形结合思想求解圆的方程．2．利用数形结合和函数与方程思想求解与圆有关的最值问题．1．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1B.2C.2D．22解析：由题知圆心坐标为(－1,0)，将直线y＝x＋3化成一般形式为x－y＋3＝0，故圆心到直线的距离d＝|－1－0＋3|12＋－12＝2.故选C.答案：C2．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：画出示意图如图所示，则△OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝03．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.解析：由题意可知，圆的半径r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈[0，π)，故α＝3π4.答案：3π4四、“基本活动体验”不可少想一想：已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D0”是“⊙C与y轴相切于原点”的什么条件？解：由题意可知，⊙C与y轴相切于原点时，圆心坐标为－D2，0，而D可以大于0，所以“E＝F＝0且D0”是“⊙C与y轴相切于原点”的充分不必要条件．考点一求圆的方程(基础之翼练牢固)[题组练通]1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B.(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：由x＝1，x＋y＝2，得x＝1，y＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案：B2．圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为________________．解析：圆心(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(0，－1)，所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.答案：x2＋(y＋1)2＝13．已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线方程为x－y－5＝0，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝3－12＋－2＋42＝22，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝84．已知圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，将P，Q两点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，①3D－E＋F＝－10.②又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④联立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0[一“点”就过]求圆的方程的两种方法(1)几何法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的轨迹问题(基础之翼练牢固)[题组练通]1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析：设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得x′＋4＝2x，y′－2＝2y，则x′＝2x－4，y′＝2y＋2，故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.答案：A2．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为________________．解析：设P(x，y)，圆心C(1,1)．因为P点是过点A的弦的中点，所以PA―→⊥PC―→.又因为PA―→＝(2－x,3－y)，PC―→＝(1－x,1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以点P的轨迹方程为x－322＋(y－2)2＝54.答案：x－322＋(y－2)2＝543．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.(2)设P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|2＝22.又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由x0－y0＝1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝－1.此时，圆P的半径r＝3.由x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝1.此时，圆P的半径r＝3.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.[一“点”就过]与圆有关的轨迹问题的3种常用求法考点三与圆有关的最值问题(创新之翼准辨析)考法(一)斜率型最值问题[例1]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值．[抓特征]本题隐含着“图形特征”，即\f(y,x)的几何意义为点x，y与原点连线的斜率，利用数形结合法求解.[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.考法(二)截距型最值问题[例2]已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x＋y的最大值与最小值．[解](转化为截距的最值问题求解)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得|3＋3－b|12＋12＝2，即|b－6|＝22，解得b＝6±22，所以x＋y的最大值为6＋22，最小值为6－22.考法(三)距离型最值问题[例3]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．[解]如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.考法(四)利用对称性求最值[例4]已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．[解析]因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝5的圆．设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，故m＋02＋n＋22＋2＝0，n－2m－0＝1，解得m＝－4，n＝－2，故A′(－4，－2)．连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝25.[答案]25[解题方略]考法(一)是形如μ＝y－bx－a型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题yx＝y－0x－0表示过坐标原点的直线的斜率.看个性考法(二)是求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是：(1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；(2)把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值.考法(三)是求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.看个性考法(四)是形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.找共性求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：[过关集训]1．(思维方式创新——利用参数方程解题)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m,0)(m0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B.6C．5D．4解析：由(x－3)2＋(y－4)2＝1，知圆上点P(x0，y0)可化为x0＝3＋cosθ，y0＝4＋sinθ.∵∠APB＝90°，即AP―→·BP―→＝0，∴(x0＋m)(x0－m)＋y20＝0，∴m2＝x20＋y20＝26＋6cosθ＋8sinθ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36