高等数学公式(极限与导数)

两个重要极限第一个重要极限：1sinlim0xxx推论：0tanlim1xxx，0arcsinlim1xxx，0arctanlim1xxx第二个重要极限：1lim(1)xxex其他形式：101lim(1),lim1xxnnexen推论：00log(1)1limlnln(1)lim1xaxxaxxx0011limlnlim1xxxxaaexx等价无穷小常用的等价无穷小（当0x时）sinxxarcsinxxtanxxarctanxx21cos2xx1lnxaxa1xexlog(1)lnaxxaln(1)xx(1)1xx11nxxn112xx当1x时，ln1xx（这个等价无穷小很有用。）证明：lnln[1(1)]1xxx（10x）一些更高阶的等价无穷小（当0x时）:3sin6xxx（35sin...3!5!xxxx）3tan3xxx（352tan...315xxxx）3tansin2xxx（35tansin...28xxxx）212xxex（231...2!3!xxxex）2ln(1)2xxx（23ln(1)...23xxxx）导数导数公式常值函数：0C幂函数：12111(),(),()2xxxxxx指数函数：()lnxxaaa，()xxee对数函数：1loglnaxxa，1lnxx三角函数：sincosxxcossinxx221tanseccosxxx221cotcscsinxxxsecsectanxxxcsccsccotxxx反三角函数：21arcsin1xx21arccos1xx21arctan1xx21arccot1xx21(arcsec)1xxx21(arccsc)1xxx双曲函数：shchxxchshxx21thchxx21cthshxx反双曲函数：21arsh1xx11arch2xx211arthxx高阶导数函数f(x)在点x0处的二阶导数的定义：0000()()()limhfxhfxfxh注如果函数f(x)在点x0处的二阶可导，则函数f(x)在点x0的某个邻域内必须有连续的导数()fx。一些常用的n阶导数公式()!()()(1)(2)...(1)!nnnnxxnxxn()!nnxn()(ln)nxxnaaa()()xnxee()()()xnxxexne()11!()(1)()nnnnanaxbaxb()11!()(1)1(1)nnnnxx()11!()(1)nnnnxxnnnxnx1!111ln12sinsinnxxn2coscosnxxn()[sin()]sin()2nnaxbaaxbn()[cos()]cos()2nnaxbaaxbn两个函数乘积的高阶导数（莱布尼茨公式）：kknnkknnvuCuv0或()()()0(1)...(1)()!nnnkkknnnkuvuvk求导法则和方法导数的四则运算法则和差的导数：()uvuv乘积的导数：()uvuvuv特例：()CuCu商的导数：2uuvuvvv特例：21vvv复合函数的求导法则（链式法则）设()yfu和()ux可导，则dydydudxdudx或()()dyfuxdx或{[()]}[()]()fxfxx复合函数的二阶导数设()yfu和()ux二阶可导，则复合函数(())yfx也二阶可导，且2222222()dydydudydudxdudxdxdx或2(())()(())()yfxxfxx反函数的求导法则设()yfx是单调的可导函数，则其反函数1()xfy也可导，且1dxdydydx或11()()()fyfx（其中()yfx）参数方程求导公式参数方程xxtyyt确定的函数()yyx的导数：ytdydxxt二阶导数：223()()()()()()()tdydyytxtytxtdxdxxtxt三阶导数：2323()()tdydydxdxxt隐函数求导公式方程(,)0Fxy确定的隐函数()yyx的导数：xyFdydxF二阶导数：222232xxyxyxyyyxyFFFFFFFdydxFxuxz2010-7-14