时变系统建模与仿真

时变系统建模与仿真13.1概述时不变的假设意味着所建模的系统具有不随时间而改变的特性。如果用传递函数来对时不变系统建模，则时不变性要求传递函数(包括幅度和相位)作为时间的函数保持不变。采用时不变还是时变的系统模型通常取决于被建模的通信系统的特性跟系统其它参数(如符号率)相比变化有多快。若对应于系统时变特性的时间常数比符号率大得多，那么采用时不变模型恰当；如果系统参数变化速率与符号率接近，那么采用时变模型合适。13.1.1实例考虑一个由一个固定基站和一个移动用户组成的移动通信系统。因为信道的参数(如衰减和延迟)随基站和移动用户间的相对运动而改变，所以在发射机和接收机之间通信信道的特性将是时变的。此外，大气环境的改变也会引起信道的时变特性。如果移动用户快速移动且符号率在每秒10000个符号的量级，则信道条件改变的速率可能与符号率相当，在这种情况下，需要使用什么信道模型？时变？时不变13.2线性时变系统模型时变系统也可以由时域中的一个冲激响应来描述。对于时变系统其冲激响应采用形式ℎ(𝜏,𝑡),其定义为对一个𝜏秒前作用于输入端的冲激信号，系统的响应在𝑡时刻的测量值。即：13.2.1线性时变系统的时域描述由于系统是时变的，冲激响应作为冲激信号作用时刻𝑡−𝜏和输出的测量时刻𝑡的函数将发生变化。冲激信号是在𝑡−𝜏时刻作用于输入端的，而系统响应是经过时间𝜏秒后，在𝑡时刻进行测量的。𝑡2−𝜏𝑡输入输入ℎ(𝜏)ℎ(𝜏)𝜏𝑡1−𝜏𝑡1𝜏𝑡2a、时不变系统的冲激响应𝑡2−𝜏𝑡输入输入ℎ(𝜏,𝑡)ℎ(𝜏,𝑡)𝜏𝑡1−𝜏𝑡1𝜏𝑡2ℎ(𝜏,𝑡2)ℎ(𝜏,𝑡1)b、时变系统的冲激响应对于一个线性时不变系统有但对于一个线性时变系统却有ℎ𝜏,𝑡1=ℎ𝜏,𝑡2=ℎ𝜏(13-4)ℎ𝜏,𝑡1≠ℎ𝜏,𝑡2(13-5)•时变系统的冲激响应是两个自变量的函数，而时不变系统的冲激响应只有一个变量。•不论冲激响应何时作用于系统输入端，线性时不变系统的冲激响应都会保持相同的函数形式，但是，一个线性时变系统的冲激响应却取决于冲激信号的作用时间。即：𝑦𝑡=𝑥𝑡∗ℎ(𝜏,𝑡)=ℎ(𝜏,𝑡)𝑥𝑡−𝜏𝑑𝜏∞−∞=ℎ𝑡−𝜏,𝑡𝑥𝜏𝑑𝜏∞−∞（13-7）对于一个线性时变系统，通过对ℎ(𝜏,𝑡)进行关于𝜏的傅里叶变换，给出传递函数的概念：线性时变系统则由一组冲激响应函数和传递函数来表示，每一个函数对应一个𝑡值。而线性时不变系统由一个冲激响应函数和一个传递函数来表示。线性时变系统的输入-输出的关系可由卷积积分表示为：𝐻𝑓,𝑡=ℎ𝜏,𝑡exp−𝑗2𝜋𝑓𝜏𝑑𝜏∞−∞(13-6)13.2.2线性时变系统的频域描述假设冲激响应的能量有限，定义ℎ(𝜏,𝑡)的二维傅里叶叶变换为：𝑌𝑓=𝐻𝑓1,𝑓−𝑓1∞−∞𝑋(𝑓1)𝑑𝑓1(13-10)及𝑦𝑡=𝑌𝑓exp𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓∞−∞(13-11)𝐻𝑓1,𝑓2=ℎ𝜏,𝑡exp−𝑗2𝜋𝑓1𝜏−𝑗2𝜋𝑓2𝑡𝑑𝜏𝑑𝑡∞−∞∞−∞(13-8)ℎ𝜏,𝑡=𝐻𝑓1,𝑓2exp𝑗2𝜋𝑓1𝜏+𝑗2𝜋𝑓2𝑡𝑑𝑓1𝑑𝑓2∞−∞∞−∞（13-9）对𝐻𝑓1,𝑓2进行反变换可得：将ℎ𝜏,𝑡代入式(13-7),得：例：如果线性时不变系统的输入时一个频率在𝑓𝑐+𝑓0的音频信号：𝑥𝑡=𝐴𝑐𝑜𝑠[2𝜋𝑓𝑐+𝑓0𝑡](13-12)其复包络为：𝑥𝑡=𝐴𝑒𝑥𝑝[𝑗2𝜋𝑓0𝑡](13-13)频域的输入-输出关系为：𝑋𝑓=𝐴𝜎(𝑓−𝑓0)(13-14)𝑌𝑓=𝐻𝑓𝑋𝑓=𝐻𝑓0𝐴𝜎(𝑓−𝑓0)(13-15)时域中的系统复包络输出定义为：时域中的系统复包络输出定义为：𝑦𝑡=𝐴|𝐻𝑓0|𝑐𝑜𝑠[𝑗2𝜋𝑓𝑐+𝑓0𝑡+∠𝐻𝑓0](13-18)𝑦𝑡=𝐴|𝐻𝑓0|𝑒𝑥𝑝[𝑗2𝜋𝑓0𝑡+∠𝐻𝑓0](13-17)当系统的输入是一个在频率𝑓0处的复音频信号时，系统会产生一个与之同频的输出音频。如图13-3所示：𝑓0𝑓𝐴𝜎(𝑓−𝑓0)𝑋(𝑓)𝑓0𝑓𝐻(𝑓)𝐻(𝑓0)𝑓0𝑓H(𝑓0)𝐴𝜎(𝑓−𝑓0)𝑌(𝑓)a输入b传递函数c输出图13-3音频输入的线性时不变系统响应输出音频的幅度和相位由系统在频率𝑓0处的幅度和相位响应决定。采用与式(13-13)相同的输入，则线性时变系统的频域输出为：𝑌𝑓=𝐻𝑓1,𝑓−𝑓1∞−∞𝑋𝑓1𝑑𝑓1=𝐻𝑓1,𝑓−𝑓1∞−∞𝐴𝜎𝑓1−𝑓0𝑑𝑓1=𝐻𝑓0,𝑓−𝑓0A(13-18)如图13-4所示：𝑓0𝑓𝐴𝜎(𝑓−𝑓0)输入𝑓0+∆𝑓𝑓𝐻𝑓0,𝑓−𝑓0A输出∆𝐵图13-4音频输入的线性时变系统响应输出不是由一个单音频组成，而可能是在所有频率上连续的音频，这可由二维传递函数中有关𝑓2的特性来给出。13.2.3线性时变系统的特性①结合律如图13-5(a)所示的系统。图13-5(a)中第一个模块的输出为：ℎ1𝜏,𝑡ℎ2𝜏,𝑡𝑥𝑡𝑤𝑡𝑦𝑡a串联ℎ𝜏,𝑡𝑥𝑡𝑦𝑡b等效系统图13-5串联及其等效系统𝑤𝑡=ℎ1(𝜏1,𝑡)𝑥𝑡−𝜏1𝑑𝜏1∞−∞=ℎ1(𝑡−𝜏1,𝑡)𝑥𝜏1𝑑𝜏1∞−∞(13-19)第二个模块的输出为：𝑦𝑡=ℎ2(𝜏2,𝑡)𝑤𝑡−𝜏2𝑑𝜏2∞−∞=ℎ2(𝑡−𝜏2,𝑡)𝑤𝜏2𝑑𝜏2∞−∞(13-20)代入𝑤𝑡得：𝑦𝑡=ℎ2𝜏2,𝑡[ℎ1𝑡−𝜏2−𝜏1,𝑡−𝜏2𝑥𝜏1𝑑𝜏1]𝑑𝜏2∞−∞=𝑥𝜏1[ℎ1𝑡−𝜏2−𝜏1,𝑡−𝜏2ℎ2𝜏2,𝑡𝑑𝜏2]𝑑𝜏1∞−∞(13-22)方括号中的数量是系统ℎ𝑡−𝜏1,𝑡的总冲激响应。代入𝜏=𝑡−𝜏1可得到两个级联模块的总冲激响应为：ℎ𝜏,𝑡=ℎ1𝜏−𝜏2,𝑡−𝜏2ℎ2𝜏2,𝑡𝑑𝜏2∞−∞(13-23)=ℎ1𝜏−𝛼,𝑡−𝛼ℎ2𝛼,𝑡𝑑𝛼∞−∞(13-24)采用上式，定义线性时变系统的结合律为：𝑥𝜏⊛ℎ1(𝜏)⊛ℎ2𝜏=𝑥𝜏⊛ℎ1𝜏⊛ℎ2𝜏=𝑥𝜏⊛[ℎ1(𝜏)⊛ℎ2𝜏](13-25)总冲激响应为：ℎ𝜏,𝑡=ℎ1(𝜏,𝑡)⊛ℎ2𝜏,𝑡(13-26)ℎ𝜏,𝑡=ℎ1𝜏−𝛼,𝑡−𝛼ℎ2𝛼,𝑡𝑑𝛼∞−∞(13-27)式中：②交换律(不满足)对于线性时变系统，无法交换线性时变模块的次序，交换这两个模块所得的冲激响应是单个冲激响应的卷积。𝑔𝜏,𝑡=ℎ2𝜏,𝑡⊛ℎ1𝜏,𝑡=ℎ2𝜏−𝛼,𝑡−𝛼ℎ1𝛼,𝑡𝑑𝛼∞−∞(13-28)ℎ𝜏,𝑡≠𝑔𝜏,𝑡表明线性时变系统不满足交换律，即：ℎ1(𝜏,𝑡)⊛ℎ2𝜏,𝑡≠ℎ2𝜏,𝑡⊛ℎ1𝜏,𝑡(13-29)ℎ𝜏,𝑡=ℎ1𝜏,𝑡⊛ℎ2𝜏,𝑡=ℎ1𝜏−𝛼,𝑡−𝛼ℎ2𝛼,𝑡𝑑𝛼∞−∞（13-27）例：𝑑𝑑𝑡(∙)𝑥𝑡=𝑡𝑦𝑡=2𝑡𝑡𝑡2𝑑𝑑𝑡(∙)𝑥𝑡=𝑡𝑦𝑡=𝑡𝑡1图13-6交换线性时变模块的例子③分配律ℎ1𝜏,𝑡ℎ2𝜏,𝑡𝑥𝑡𝑦𝑡ℎ3𝜏,𝑡ℎ𝜏,𝑡𝑥𝑡𝑦𝑡b等效系统a串联和并联图13-7串/并联及其等效系统验证：ℎ1𝜏,𝑡⊛ℎ2𝜏,𝑡+ℎ3𝜏,𝑡（13-32）=ℎ1𝜏,𝑡⊛ℎ2𝜏,𝑡+ℎ1𝜏,𝑡⊛ℎ3𝜏,𝑡ℎ𝜏,𝑡=ℎ1𝜏,𝑡⊛ℎ2𝜏,𝑡+ℎ1𝜏,𝑡⊛ℎ3𝜏,𝑡（13-33）例13-1假设线性时变系统的输入是一个频率为1KHz的单位幅度复指数函数，即：𝑥𝑡=exp(𝑗2000𝜋𝑡)(13-34)它在频域中为：𝑋𝑓=𝜎(𝑓−1000)(13-35)假设由ℎ(𝜏,𝑡)定义的系统具有如下时变冲激响应：ℎ𝜏,𝑡=𝑎1𝑡𝜎𝜏+𝑎2𝑡𝜎𝜏−𝑇+𝑎3𝑡𝜎𝜏−2𝑇(13-36)式中T为1ms，而时变衰减𝑎𝑖(𝑡)为：𝑎1𝑡=cos(100𝜋𝑡)(13-37)𝑎2𝑡=0.7cos(200𝜋𝑡)(13-38)𝑎3𝑡=0.3cos(300𝜋𝑡)(13-39)tms通过式(13-8)所定义的二维傅里叶变换，可以得到该信道的时变频率响应。𝐻𝑓1,𝑓2=ℎ𝜏,𝑡exp−𝑗2𝜋𝑓1𝜏−𝑗2𝜋𝑓2𝑡𝑑𝜏𝑑𝑡∞−∞∞−∞(13-8)将式(13-36)所定义的冲激响应代入式(13-8)中有：𝐻𝑓1,𝑓2=cos(100𝜋𝑡)𝜎𝜏∙exp−𝑗2𝜋𝑓1𝜏−𝑗2𝜋𝑓2𝑡𝑑𝜏𝑑𝑡∞−∞∞−∞(13-40)+0.7cos(200𝜋𝑡)𝜎𝜏−𝑇∙exp−𝑗2𝜋𝑓1𝜏−𝑗2𝜋𝑓2𝑡𝑑𝜏𝑑𝑡∞−∞∞−∞+0.3cos(300𝜋𝑡)𝜎𝜏−2𝑇∙exp−𝑗2𝜋𝑓1𝜏−𝑗2𝜋𝑓2𝑡𝑑𝜏𝑑𝑡∞−∞∞−∞应用冲激函数的筛选特性和调制傅里叶变换定理，可得传递函数：𝐻𝑓1,𝑓2=12𝜎𝑓2±50+0.72𝜎𝑓2±100exp−𝑗2𝜋𝑓1𝑇+0.32𝜎𝑓2±150exp(−𝑗4𝜋𝑓1𝑇)(13-41)系统输出由式（13-10）定义。𝑌𝑓=𝐻𝑓1,𝑓−𝑓1∞−∞𝑋(𝑓1)𝑑𝑓1(13-10)将式（13-35）和式（13-41）代入式（13-10）中，有：𝑌𝑓=12𝜎𝑓−𝑓1±50∞−∞𝜎𝑓1−1000𝑑𝑓1(13-42)+0.72𝜎𝑓−𝑓1±100∞−∞𝜎𝑓1−1000exp(−𝑗2𝜋𝑓1𝑇)𝑑𝑓1+0.32𝜎𝑓−𝑓1±150∞−∞𝜎𝑓1−1000exp(−𝑗4𝜋𝑓1𝑇)𝑑𝑓1应用𝜎函数的平移特性，上式可积分为：𝑌𝑓=12𝜎𝑓−1000±50(13-43)+0.72𝜎𝑓−1000±100exp(−𝑗2000𝜋𝑇)+0.32𝜎𝑓−1000±150exp(−𝑗4000𝜋𝑇)系统输出由式（13-10）定义。将式（13-35）和式（13-41）代入式（13-10）中，有：由于时变信道冲激响应的影响，一个在1000Hz处的单音频输入发生了偏移，同时其频率也被扩展了。图13-9时变冲激响应的傅里叶变换图13-10系统输出