DEA资产组合效率指数

DEA资产组合效率指数36DEA资产组合效率指数——DEA方法应用于业绩评估的一个新模型中国人民大学信息学院王兵郝炜内容摘要：在金融学领域中，资产组合业绩评估是一个很重要的研究领域。最经常使用的两种业绩指数分别是：Jensen的alpha和Sharpe指数。由于这些指数存在着一定的局限性，我们应用运筹学领域中著名的数据包络分析（DEA）方法来度量资产组合的业绩，这也是本文所要提出的业绩评估的新指数——DEA资产组合效率指数（DPEI）。关键词：CCR模型DPEIJensen的alphaSharpe指数资产组合业绩评估DEA交易成本1.引言评估资产组合业绩，经常使用的两种主要指标分别是：Jensen的alpha（Jensen，1968）和Sharpe指数（Sharpe，1966）。研究人员已经认真地检验过这些指标，证明了这些指标不能解决很多问题，尽管它们不管在理论上还是在实践中都非常有用。在资产组合业绩评估中，主要存在这三个问题：用以比较的精确基准问题，市场时机的角色问题和交易成本的内生性问题。在这篇文章中，我们采用一种新指数（DPEI）来度量资产组合业绩，它弥补了常用业绩评估指数的某些不足之处。DPEI这种指数，是一种相对业绩度量方法，不需要规定比较的基准，同时也嵌入了交易成本。我们采用的数据包络分析（DEA）技术，它在运筹学中广泛的应用于计算效率的相对有效性。因此，我们将新指数称之为DEA资产组合效率指数（DPEI）。2.评估资产组合业绩的常用指数前文已提过评估资产组合业绩的常用指标及其存在的三个主要问题，下面将分别说明。2.1.Jensen的alpha在金融学文献中，基准选择问题和市场时机问题已经广泛的讨论过（GrinblattandTitman,1989,1993）。Jensen的alpha是该讨论的焦点，因为它不管是在学术界还是在业界都是最广泛用作业绩指标的。它定义为实际资产组合回报与估计的基准回报之差。基准既可以是基于CAPM（资本资产定价模型）又可以是基于APT（套利定价理论）模型的。研究人员已经讨货币金融评论2003年第2、3期37论过Jensen的alpha对用作比较的基准模型选择是灵敏的（Roll,1978;Green,1986;LehmanandModest,1987;Eltonetal.,1993;Choi,1995）。例如，基于采用CAPM或APT模型作为基准得到的Jensen的alpha，是完全不同的。另外，研究人员已经讨论了Jensen的alpha的估计可能是有偏的，因为市场时机选择——基金管理人的这种能力系统地改变了基金的目标风险（Jensen，1972；AdmatiandRoss,1985;DybvigandRoss,1985）。当资产组合管理人通过在不同投资品种之间转移资金，改变了基金的目标beta时，因为在研究的时段内已经假设了beta系数是常数，这样，就会将估计偏差引入了基准模型中。2.2.Sharpe指数除了最常用的Jensen的alpha之外，另一个常用的资产组合业绩评估指标是Sharpe指数。它定义为资产组合的超额回报（超过无风险回报的部分）与其标准差的比率。相对于Jensen的alpha，这种度量方法避开了用作比较的基准问题。然而，Sharpe指数即使没有考虑交易成本或与买卖资产相关的费用，基金经常改变手续费或其他费用，这样就揭示出代表投资人利益的进行金融交易的成本。因此，在度量资产组合业绩的过程中，包含交易成本是很重要的，而且研究人员已经建立了这两种变量的联系（Grossman,1976;GrossmanandStiglitz,1980;Ippolito,1989;Eltonetal.,1993）。存在的主要争论在于：如果收集和使用信息是有成本的，那么，知情投资者应该相对于未知情投资者得到更高的回报。GrinblattandTitman(1989)也认为如果资产组合管理人的能力优越，那么，他们可以通过支付更高的费用获取经济租金。这样，我们才会有希望理解交易成本和回报之间的联系。从投资者的角度看，任何业绩指数也应该考虑交易成本。2.3.一些改进的努力和DPEI在试图绕开基准问题时，GrinblattandTitman（1993）采用了一种新的资产组合业绩度量方法，不要求使用基准资产组合。它们度量了回报和资产组合权重变化之间的相关性，并用这种相关性作为管理业绩指标。他们用这种指数评估了共同基金的业绩。然而，它们的指标也没有考虑交易成本。我们基于Sharpe指数的思想，通过加入了交易成本修正了Sharpe指数，从而发展了一种新指数。Sharpe指数定义为R/，其中R是实际回报与无风险回报之差，是回报的标准差或相应的风险。因此，Sharpe指数捕捉了单位风险的风险溢价。为了考虑交易成本，我们定义新的资产组合业绩评估指数I为DEA资产组合效率指数38vxRIiii其中指ix交易成本，例如费用比率、手续费和转手费。权重i和v分别是与变量ix和相联系的。比率I定义了在给定风险水平和交易成本情况下，基金所得到的超额回报的一种度量方法，或者说，I代表了基金在控制了投资的风险水平和进行交易发生的成本之后，所能得到的不少于市场回报的剩余回报。这种指数与生产经济学中采用的效率度量方法是一致的，其中用产出和投入的比率作为度量管理人员怎样很好的利用资源达到产出水平的最大化。为了确定权重i和v，通常我们采用参数方法，并设定在回报与交易成本、标准差之间对应的函数形式。然后，采用最小二乘法或非线性方法来估计权重。然而，Varian（1990）提倡使用非参数方法来度量投资者或消费者的最优行为。他认为传统做法求助于特定的参数方法和检验估计的意义，是把着重点放在了统计含义上而忽视了经济含义问题。Varian认为从最优行为出发的经济含义是更贴切的。给定一组数据（价格、需求和产出），Varian提出了一种基于残差的度量方法。它度量了由数据构造的产出投入之比与1（效率值之最大者）之差。SeifordandThrall(1990)证明了Varian的度量方法与数据包络分析得到的效率值之间的联系。在这些前人工作的启发下，我们采用了Charnesetal.（1978）提出的度量了教育机构绩效的非参数分析技术——数据包络分析（DEA），即CCR模型。DEA是一种线性规划形式（具体的转化过程，见下文或Wei（1988）），它定义了多投入与多产出之间的对应关系。2.4.DEA方法的优势BankerandMaindiratta（1986）已经证明了DEA方法相对于参数方法而言，有一定的优势。首先，DEA方法不要求像参数方法那样，对投入产出对应的任何函数形式做出假设。这一特征在关系理论上未知或不规定的情形下是有用的。DEA需要的最少假设是有效前沿面的单调性和凸性（Bankeretal.,1984）。第二，DEA度量的效率是着眼于Pareto有效前沿面的，它度量的最好业绩是实际可以达到的，而参数方法（例如基于回归的方法）估计的效率是相对于平均的业绩来说的。第三，DEA可以计算每一基金的效率指数，然而参数方法提供了统计平均值。最后，使用DEA不仅可以鉴别无效率基金，也可以估计无效率的程度。这一分析暗示了无效率基金可以达到有效率的途径。这样，我们看到当对变量之间关系的函数形式很少有事前信息时，DEA方法是一种度量效率很有用的技术。研究人员已经采用DEA评价了教育机构（Charnesetal.,1978）、医院货币金融评论2003年第2、3期39（Bankeretal.,1984）、银行（Sherman,1984）、和零售单位（Mahajan,1991）。下面我们就用DEA来度量共同基金的业绩。3.DEA资产组合效率指数（DPEI）接下来，就2.3.提到的DPEI，详细的进行阐述，并进行一些进一步的改进以应用到更广泛的环境中。3.1.产出、投入的选择Sharpe指数这种度量方法，是Sharpe（1966）提出的一种作为Jensen的alpha的备选度量方法。Sharpe指数如上所述，可以用资产组合的超额回报与其标准差的比率得到，因此，它度量了承受每单位风险所得到的风险溢价。Roll（1978）认为Jensen的alpha对采用的市场指数的选择是非常敏感的，可能对经理人运作资产组合的质量来说不是一种精确度量方法。Sharpe指数在市场指数问题上更稳健，因为它使用标准差作为风险度量，而不是beta。然而，因为资产组合的最终Sharpe指数是相对于市场指数的Sharpe指数来说的。市场指数问题并没有完全消除。DPEI是将每一资产组合指数与此类中得到的最好资产组合比较而言的。给定交易成本结构（例如，费用比率、转手费和手续费）和承受的风险，我们评估了相同一类中基金产生的最高回报。像在Sharpe指数里，我们进考虑了一种产出，即回报，它不关心我们是否考虑超额回报（实际回报与无风险回报之差）或实际回报，而DEA是一种业绩的相对度量方法，无风险回报是常数，这些对所有类型的基金是共同的。为了产生回报，经理人花费交易成本和将成本转移给投资者。这些成本，例如费用比率，包括了管理费用、营销费用和其他经营费用。另外，共同基金对特定基金来说是要交纳手续费的。这些收费可能在消费者投资开始时交纳或推迟到消费者抽走他的资金时。交易成本的另外一种度量方法是周转额，它捕捉了经理人的交易活动。周转额越大，因为交易量增加交易成本越大。这样，投资者对发现在一定风险水平下基金获取的回报高于交易成本感兴趣。我们与Sharpe指数相似，采用标准差作为风险度量。这样，在我们的DEA模型里，有一种产出和四种投入：费用比率、手续费、周转额和标准差。3.2.数据包络分析（DEA）我们简要的描述一下Charnesetal.,（1978）提出的DEA形式CCR模型（详细的过程可参看Wei（1988））。简单的DEA问题是作为一种分式规划问题形式构造的，然后转化为容易计算的线性规划问题。一般的，问题最大化了加权平均的多产出与加权平均多投入的效率。DEA资产组合效率指数40在我们的情形里，仅有一种产出，即回报。MaximizeiiivxRDPEI000Subjectto,,...,1,,,,...,1,1IivJjvxRiijijij(P)其中J=基金类型的数量，I=投入的数量，jR=第j种基金的回报值,ijx=第j种基金的第i种交易成本值，=固定的作为小于任意正实数的正值非Archimedean无穷小量，i和v是权重，给定规划问题在条件i≥，v≥下的解，并限制解是正值变量。下标0指要评估的特定基金。上面的问题在所有基金的回报与加权投入比率小于等于1的条件限制下，找出权重最大化特定基金回报与加权投入的比率。在这种意义上，就基金集使用相同的投入得到相同的产出而言，DEA度量了一种基金的效率。DEA能够基于他们是否位于Pareto有效前沿面上，可以将无效率基金与有效率基金分离开。基金离有效前沿面的距离给出了它的相对有效性的一种度量方法。有效前沿面是分段线性的，仅就参考的基金集而言基金被视为无效率的，如果目标函数值是1和松弛变量都是0，就说基金是有效率的。3.3.模型的转化及改进下面简要的阐述一下问题（P）的处理和相应的改进。首先，根据Wei（1988）中的方法和相应的符号（下面就采用问题（P）相应的矩阵符号形式，这只是为了处理方便。），令iiivxR000和iiivxt001,,,tvvt货币金融评论2003年第2、3期41这样，问题（P）就转化为MaximizeSubjectto,10,,,,...,1,,000vJjRvxRvxjjjTT)(0P问题（P0）就是典型的投入倾向型DEA问题的一种特殊形式。当考虑到回报、费用比率、手续费、周转额和标准差的度量时，回报、交易成本、标准差一般情况下是随机变量：因为价格、红利的不确定性，回报视为随机的；交易成本重，手续费、周转