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正弦定理与余弦定理正弦定理学习目标通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形问题.课前自主学案温故夯基1．Rt△ABC中，a，b分别为∠A与∠B所对的直角边的长．c为斜边的长，则sinA＝__，cosA＝__，tanA＝__.2．对于两个向量a和b，有a·b＝________(其中θ为a与b的夹角)．|a|·|b|cosθacbcab知新益能1．正弦定理在一个三角形中，各边和_________________的比相等，即_________________＝2R(其中R为△ABC的外接圆半径)．它所对角的正弦asinA＝bsinB＝csinC2．三角形的面积公式对于任意△ABC，若a，b，c为三角A，B，C的对边，则△ABC的面积S＝______＝________＝______.12aha12absinCabc4R问题探究1．能否利用向量的方法证明正弦定理？提示：当△ABC是锐角三角形时，过A点作单位向量i垂直于AB，如图：∵AC→＝AB→＋BC→，∴i·AC→＝i·(AB→＋BC→)＝i·AB→＋i·BC→＝i·BC→，∴bcos(90°－A)＝acos(90°－B)，得bsinA＝asinB，即asinA＝bsinB.同理可得：bsinB＝csinC.∴asinA＝bsinB＝csinC.当△ABC为钝角三角形时，类似地可证．2．画△ABC，使a＝14，b＝16，A＝45°，你能画出几个？提示：作45°角为A，在A的一边上取一点C，使AC＝16.以点C为圆心，14为半径画弧．因为16sin45°＝8214，所以弧与A的另一边有两个交点，故能作出两个三角形．课堂互动讲练已知两角及一边解三角形考点突破如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.【思路点拨】已知两角和一边，可由内角和求第三个角A，再由正弦定理求b，c.例1【解】A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.由正弦定理bsinB＝asinA得，【名师点评】如果已知两角及一边则说明三角形是确定的，三角形确定了，则说明只有一解.b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝46，由asinA＝csinC得，c＝asinCsinA＝8×sin75°sin45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)．已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论．已知a、b、A解三角形时我们也可以从图形角度加以讨论：已知两边及一边的对角解三角形A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a＝bsinA②a≥bbsinA＜a＜ba＜bsinAa＞ba≤b解的个数一解两解无解一解无解例2已知下列条件，解三角形．(1)a＝5，b＝12，A＝30°；(2)(2010年高考北京卷改编)b＝1，a＝3，A＝120°；(3)a＝2，b＝2，A＝30°.【思路点拨】先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，再由正弦定理求其他边和角．【解】(1)由正弦定理，得sinB＝b·sinAa＝12×sin30°5＝651，所以此三角形无解．(2)由正弦定理asinA＝bsinB即1sinB＝3sin120°，得sinB＝12.∵ba，∴B＝30°.∴C＝30°，∴c＝1.综上可知，c，B，C的值分别是1,30°，30°.(3)由asinA＝bsinB，得sinB＝b·sinAa＝2sin30°2＝22.∵ab，∴BA＝30°，∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°.又∵csinC＝asinA，∴c＝a·sinCsinA＝2·sin105°sin30°＝2×6＋2412＝3＋1.当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，∴c＝a·sinCsinA＝2sin15°sin30°＝2×6－2412＝3－1.综上可得B＝45°，C＝105°，c＝3＋1或B＝135°，C＝15°，c＝3－1.【名师点评】已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况加以讨论：是否有解，如有解，是一解还是两解，以防止漏解或增解．自我挑战1已知△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C及c.解：由正弦定理asinA＝bsinB，得sinA＝a·sinBb＝32.∵ab且asinB＝62b，即asinBba，∴该题有两解，即A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，∴c＝b·sinCsinB＝6＋22.当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，∴c＝bsinCsinB＝6－22.∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋22或A＝120°，C＝15°，c＝6－22.求三角形的面积求解三角形的面积公式较多，除S△＝12×底×高外，S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA也应用较广，注意三角形内角和定理的应用．(2009年高考北京卷)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B＝π3，cosA＝45，b＝3.(1)求sinC的值；(2)求△ABC的面积．例3【思路点拨】(1)根据三角形内角和定理，A＋C＝π－B＝2π3，即C＝2π3－A，只要再根据cosA＝45求出sinA的值，根据两角差的正弦公式即可求出sinC的值；(2)相当于知道了三角形三个内角以及一条边长，只要再求出一条边长就可以根据三角形面积公式求出△ABC的面积.【解】(1)因为角A，B，C为△ABC的内角，且B＝π3，cosA＝45，所以C＝2π3－A，sinA＝35.于是sinC＝sin(2π3－A)＝32cosA＋12sinA＝3＋4310.(2)由(1)知sinA＝35，sinC＝3＋4310.又因为B＝π3，b＝3，所以在△ABC中，由正弦定理得a＝bsinAsinB＝65.于是△ABC的面积S＝12absinC＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350.【名师点评】在三角形中，当已知两个内角的大小或是已知两个内角的三角函数值时，一定能根据三角形内角和定理与两角和的正弦公式求出第三个内角的大小或其三角函数值.自我挑战2(2009年高考安徽卷)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝13.(1)求sinA的值；(2)设AC＝6，求△ABC的面积．解：(1)由sin(C－A)＝1，－πC－Aπ，知C＝A＋π2.又A＋B＋C＝π，所以2A＋B＝π2，即2A＝π2－B,0Aπ4.故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝13，sinA＝33.(2)由(1)得cosA＝63.又由正弦定理，得BCsinA＝ACsinB，BC＝sinAsinBAC＝32，所以S△ABC＝12AC·BC·sinC＝12AC·BC·sin(A＋π2)＝12AC·BC·cosA＝32.方法感悟1．正弦定理表达了三角形的边和角的关系，其作用是解三角形，而且正弦定理有若干变形形式，应用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的互相转换．通过应用还应发现它与三角函数、平面向量知识在解三角形中有密切的联系．2．应用正弦定理，要明确角化边或边化角的方向，正确判断解的个数，特别注意对已知两边及一边对角时三角形解的个数的讨论，防止出现漏解或增解．3．涉及求三角形的边、面积等的最值时，应注意使用正弦定理、面积公式等建立函数关系式，通过求三角函数的最值来解决问题．