3.2整环-除环-域

§3.2整环，除环，域(3.2DomainRing,DivisorRingandField)1000000,0,0001100ABAB3.2.1零因子（Zerodivisor）Def1：设A是一个环,a,b∈A,若ab=0(且a≠0,b≠0)，则称a是左零因子，b是右零因子。若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为零因子。例：在M2(Z)中，A是左零因子，B是右零因子。设则所以A也是右零因子，因此A是M2(Z)中的一个零因子。对可换环，左零因子，右零因子和零因子这三个概念合而为一。那么在什么情况下，一个环内有零因子呢？零因子与环的什么性质有关呢？下面的这个定理回答了这个问题Th1.环中无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立a≠0，ab=acb=c(左消去律)a≠0，ba=cab=c(右消去律)a01B,01aB0,A证明：必要性）a≠0，ab=ac，则有a（b-c）=0。因a≠0且环中无零因子，故必有b-c=0，即b=c。类似可证右消去律成立。充分性）设若a≠0，则对ab=a0，施行消去律得b=0；因而不存在a≠0，b≠0，使ab=0，即环中无任何零因子。由定理可见，环中是否有零因子体现了环内的一种运算上的性质：消去律可否进行，这对方程的求解问题影响很大。3.2.2域（Field）Def2：有单位元的可换环（A,+,）叫做整环，若|A|≥2,且A无零因子。注：整环满足如下的三个条件：①乘法适合交换律：ab=ba;②有单位元：1a=a;③无零因子：ab=0a=0或b=0.例1．①（Z，+，）是一个整环，同理（Q,+,）（R,+,）（C,+,）亦然.②Z22,,(2,,)xyxyZZ则也是一个整环Def3：环R称为除环，如果（R＊,）是一个群，其中R＊={a∣a∈R，a≠0}（非零元集）.注：R＊是群说明：R＊有单位元和逆元存在。Def4：环R称为域，如果R是一个可交换的除环,即（R＊,）是交换群。注1．由域的定义可知，域是一种特殊的环——可交换的除环。注2．具有有限个元素的域称为有限域：|R|=n否则称为无限域：|R|=∞例2．（Q,+,）（R,+,）（C,+,）都是域，但是（Z，+，）不是域。因为Z＊中关于乘法不构成群：a∈Z＊的逆元a-1不一定存在，如a=3，则a-1=3-1Z＊。Th2.设（R,+,）是一个环，且有单位e，若a∈R*关于乘法有逆元，则a不是零因子，从而除环没有零因子，域是整环。证明：①设ab=0，则a-1(ab)=a-10=0,a-1(ab)=(a-1a)b=eb=b，从而b=0.同样，若ba=0，则可推得b=0，从而a不是零因子。②因为除环中每一个a≠0可逆，由①知除环没有零因子。③因为域是除环，故域没有零因子；又域是有单位元e≠0的可换环，故域是整环。1212,1,1,nnnnn12120,0,0,nnnn且12nn，*/(){0},,pZpkZ11,akka得所以*/(),kZpk*(,)pZ/()Zp例3．剩余类环（Z/（n），+，），当n不是素数时，Z/（n）中有零因子，因为则有所以是零因子。但是当n是素数时，Z/（n）是域。设n=p是素数,则由于（k,p）=1,存在a,b∈Z,使ak+bp=1,都有的逆元，故是群。因而是域，且为有限域，是最简单的有限域。.即对我们把上面的讨论归结为下面的命题。命题：（Z/（n），+，·）是域n是素数p.关于一般的有限环还有以下定理Th3.一个非零的有限的无零因子环是除环。证明：设环R≠{0}，|R|=n∞,则R*≠（R*,·）是有限半群，由于R中无零因子，故在R中消去律成立，（R*,·）中消去律亦成立（因而在R*中有单位元e=1,ae=ae=1;且逆元xa=ex=a-1）,故（R*,·）是群，所以（R,+,·）是除环。推论：有限整环是域。100010,,,010100iieijkii222,,,ijkeijjikjkkjikiikjabicdiqaebicjdkcdiabi最后，我们来看一个非可换除环（从而不是域）的例子例4．哈密顿四元数除环（实四元数除环），divisionringofreal(Hamilton)quaternions设H={ae+bi+cj+dk∣a,b,c,d∈R},其中不难验证：易证H对矩阵的加法和乘法构成环，且有单位元e.下面看H*中的非零元是否有逆元，设q∈H*,22220,qabcd11qq00,00iiijjiiiijji由于q的行列式故q有逆显然q-1∈H*,故H*对乘法构成群，即H为除环。最后指出H不是域。事实上，只要指出H中至少有两个元素不可换即可。通过计算不难发现所以H是一个不可换的除环而不是域，称为哈密顿四元数除环。H中的元素h=ae+bi+cj+dk称为四元数，是一种比复数更广泛的数。其中e，i，j，k也可以用4维向量空间R4的基底e=（1，0，0，0），i=（0，1，0，0），j=（0，0，1，0），k=（0，0，0，1）来表示。不可交换的除环也称为“体”，所以哈密顿四元数除环也称为哈密顿四元数体。End