《第三章函数的应用》章末检测题及答案

第三章章末检测题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝x2－2x－3的零点是()A．1，－3B．3，－1C．1,2D．不存在答案B解析方程x2－2x－3＝0的解是x1＝3，x2＝－1，所以函数y＝x2－2x－3的零点是－1,3，故选B.2．下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的()答案C解析C中图像中的零点两侧的函数值为同号．3．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是()A．(0.1,0.2)B．(0.2,0.3)C．(0.3,0.4)D．(0.4,0.5)答案A解析设f(x)＝lgx－x＋1，则f(0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.10，f(0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.10，f(0.1)f(0.2)0，选A.4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a1B．a1C．a≤1D．a≥1答案B解析f(x)没有零点，即x2＋2x＋a＝0无实数解．∴Δ0即4－4a0，∴a1.5．若函数y＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个大于2的零点，则m的取值范围是()A．(－5，－4)B．(－∞，－4]C．(－∞，－2)D．(－∞，－5)∪(－5，－4]答案A解析f20，－m－222，Δ0⇔－5m－4.6．对于定义在实数集R上的函数，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个不动点，已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在不动点，那么a的取值范围是()A．(－12，32)B．(－32，12)C．(－1,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A解析因为f(x)＝x2＋2ax＋1不存在不动点，即x2＋2ax＋1＝x无实数解．∴x2＋(2a－1)x＋1＝0无实数解．从而Δ0即(2a－1)2－40，∴－22a－12，∴－12a32.7．如下图所示，阴影部分的面积S是h的函数(0≤h≤H)，则该函数的图像是下面四个图形中的()答案C解析当h＝H2时，对应阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，且随着h的增大，S随之减小，故排除A，B，D，选择C.8．某人2011年7月1日到银行存入a元，若按年利率x复利计算，则到2014年7月1日可取款()A．a(1＋x)2元B．a(1＋x)4元C．a＋(1＋x)3元D．a(1＋x)3元答案D解析由题意知，2012年7月1日可取款a(1＋x)元，2013年7月1日可取款a(1＋x)·(1＋x)＝a(1＋x)2元，2014年7月1日可取款a(1＋x)2·(1＋x)＝a(1＋x)3元．9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0在下列哪些连续整数之间没有根()A．－2与－1之间B．－1与0之间C．0与1之间D．1与2之间答案C解析∵f(－2)·f(－1)0，f(－1)·f(0)0，f(1)·f(2)0，∴A，B，D都不符合题意．10．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨答案D11．某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为()A．45元B．55元C．65元D．70元答案D解析设每件商品定价为x元，则月利润为[500－10(x－50)](x－40)＝－10(x－70)2＋9000.所以当x＝70时，利润最大．12．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－12)·f(12)0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内()A．可能有3个实根B．可能有2个实根C．有唯一的实根D．没有实根答案C解析因为f(x)在[－1,1]上是增函数，且f(－12)·f(12)0，所以f(x)在[－12，12]内有唯一实根，所以f(x)在[－1,1]内有唯一实根．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上)13．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)0，给定精确度ε＝0.01，取区间(a，b)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________.(填区间)答案(2,3)解析∵f(2)f(4)0，f(2)f(3)0，∴f(3)·f(4)0，故x0∈(2,3)．14．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是4和6，则函数g(x)＝bx2＋ax－1的零点是________．答案14，16解析∵4和6是函数f(x)的两个零点，∴f4＝0，f6＝0，即16－4a－b＝0，36－6a－b＝0.∴a＝10，b＝－24.∴g(x)＝－24x2＋10x－1.令g(x)＝0，得x＝14或x＝16.15．方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为______．答案216．某种细菌经30分钟繁殖为原来的2倍，且知细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间，y表示细菌个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌能繁殖为________个．答案2ln21024解析将(12，2)代入y＝ekt，得2＝e12k.∴12k＝ln2，k＝2ln2.这时函数解析式为y＝e2tln2＝eln22t＝22t，令t＝5，则得一个细菌经5小时繁殖为y＝210＝1024个．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．解析(1)∵f(x)的两个零点是－3和2，∴函数图像过点(－3,0)，(2,0)．∴9a－3(b－8)－a－ab＝0，①4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②①－②，得b＝a＋8.③③代入②，得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋12)2＋34＋18，图像的对称轴方程是x＝－12，且0≤x≤1，∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18.∴函数f(x)的值域是[12,18]．18．(12分)某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯利润1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140a≤280时，问该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能获得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁)解析(1)y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－1100x2＋(a100－140100)x＋a，∵a－x≥34a，∴x≤a4，故x的取值范围是0≤x≤a4且x∈N.(2)y＝－1100x2＋(a100－140100)x＋a＝－1100[x－(a2－70)]2＋1100(a2－70)2＋a，当140a≤280时，0a2－70≤a4，∴当a为偶数时，x＝a2－70，y取最大值；当a为奇数时，x＝a＋12－70或x＝a－12－70，y取最大值．∵尽可能少裁员，∴x＝a－12－70.综上所述：当a为偶数时，应裁员a2－70；当a为奇数时，应裁员a－12－70.19．(12分)某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)与市场价格x(元/件)分别近似地满足下列关系：y1＝－x＋70，y2＝2x－20.y1＝y2时的市场价格为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．(1)求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？解析(1)由y1＝y2，得x＝30，y＝40.∴平衡价格为30元/件，平衡需求量为40万件．(2)44＝70－x，44＝2x＋t－20，∴x＝26，t＝6.∴要使平衡需求量增加4万件，每件需补贴6元．20．(12分)“水”这个曾被认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2000亿元，给农业造成的损失达1500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．解析设本季度他应交水费为y元，当0x≤5时，y＝1.2x；当5x≤6时，应把x分成两部分：5与x－5分别计算，第一部分收基本水费1.2×5元，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.2(x－5)＋1.2(x－5)×200%＝1.2(x－5)(1＋200%)，所以y＝1.2×5＋1.2(x－5)×(1＋200%)＝3.6x－12；同理可得，当6x≤7时，y＝1.2×5＋1.2×(1＋200%)＋1.2(x－6)(1＋400%)＝6x－26.4.综上可得y＝1.2x，0x≤5，3.6x－12，5x≤6，6x－26.4，6x≤7.21．(12分)某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解析设矩形的长为x，宽为y，则2x＋2π(y2)＝400，∴y＝2π(200－x)(0x200)．∴S＝xy＝2πx(200－x)．∴对称轴为x＝100.∴x＝100时，S最大，此时y＝200π.答案把矩形的长和宽分别设计为100m和200πm时，矩形区域面积最大22．(12分)某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台使用，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)；(2)你认为选择哪一家比较合算？为什么？解析(1)依题意得f(x)＝5x(15≤x≤40)，g(x)＝90，5≤x≤30，2x＋30，30x≤40.(2)f(x)－g(x)＝5x－90，15≤x≤30，3x－30，30x≤40.易知，当15≤x18时，f(x)－g(x)0，∴f(x)g(x)，即选甲家；当x＝18时，f(x)－g(x)＝0.∴f(x)＝g(x)，即选甲家和乙家都一样；当18x≤30时，f(x)－g(x)0，∴f(x)g(x)，即选乙家；当30x≤40时，f(x)－g(x)0，∴f(x)g(x)，即选乙家．