《空间几何体及点、线、面的位置关系》回扣验收特训(一)含解析

回扣验收特训（一）空间几何体及点、线、面的位置关系1．(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A．2＋5B．4＋5C．2＋25D．5解析：选C作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥S­ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝5，AC＝BC＝5.∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋25.2．下列命题中假命题是()A．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行C．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直D．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行，那么这两个平面相互平行解析：选A垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，A错误；选A.3．已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β.其中真命题是()A．①③B．①②C．③④D．①④解析：选D对于①垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；对于②不满足平面与平面平行的判断定理，错误；对于③平面α，β可能相交，错误；对于④满足平面α与平面β平行，正确．4．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是()解析：选D该三棱锥是由三条交于一点且两两垂直，长度分别为1,2,3的棱构成的．由于不同的放置方式其三视图可为A，B，C中的情况．D选项中侧视图错误，故选D.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2π3B．πC.4π3D．2π解析：选A由三视图可知该几何体的直观图为一个圆柱内挖去两个与圆柱同底的半球，所以该几何体的体积V＝V柱－2V半球＝π×12×2－2×12×4π3×13＝2π3，选A.6.如图，三棱锥V­ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是()A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VO解析：选B因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.因为VO⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以VO⊥AB.又VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD.又CD⊂平面VCD，VC⊂平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥CD.又AD＝BD，所以AC＝BC(线段垂直平分线的性质)．因为VO⊥平面ABC，所以VV­ABC＝13S△ABC·VO.因为AB⊥平面VCD，所以VV­ABC＝VB­VCD＋VA­VCD＝13S△VCD·BD＋13S△VCD·AD＝13S△VCD·(BD＋AD)＝13S△VCD·AB，所以13S△ABC·VO＝13S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.综上知，A，C，D正确．7．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出平面ABC∥平面MNP的图形序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．解析：由面面平行的判定定理可得．答案：①②8．已知四面体A­BCD的棱都相等，G为△ABC的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为________．解析：设四面体A­BCD的棱长为a，延长AG交BC于E，取BD的中点F，连接EF，AF.由题意知E为BC的中点，所以CD∥EF，所以∠AEF即异面直线AG与CD所成的角．由题意知AE＝AF＝32a，EF＝12a，则在△AEF中，cos∠AEF＝12EFAE＝36.答案：369.如图，三棱锥V­ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为________．解析：由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为12×2a×h＝ah＝23.又三棱锥的侧视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝3a，所以侧视图的面积为12OB·OV＝12×3a×h＝32×23＝33.答案：3310.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC；(2)AF⊥平面EDB.证明：(1)取AB的中点M，连接FM，MC.∵F，M分别是BE，BA的中点，∴FM∥EA，FM＝12EA＝a.∵EA，CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM.又∵DC＝a，∴FM＝DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC.∵FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC.(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，∴CM⊥AB.又∵CM⊥AE，AB∩AE＝A，∴CM⊥平面EAB，∴CM⊥AF.又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.又∵FD∩BE＝F，∴AF⊥平面EDB.11.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C­BDB1的体积．解：(1)证明：如图，∵ABCD­A1B1C1D1为正方体，∴BB1⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D.∵B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.(2)VC­BDB1＝VB1­BDC.∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B是三棱锥B1­BDC的高．∵VB1­BDC＝13S△BDC·BB1＝13×12×2×2×2＝43.∴三棱锥C­BDB1的体积为43.12.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PA＝1，PA⊥平面ABCD，点E是PC的中点，F是AB的中点．(1)求证：BE∥平面PDF；(2)求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．解：(1)证明：取PD中点为M，连接ME，MF.∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME綊12CD.∵F是AB中点且ABCD是菱形，AB綊CD，∴ME綊12AB.∴ME綊FB.∴四边形MEBF是平行四边形．从而BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF.(2)由(1)得BE∥MF，∴直线BE与平面PAD所成角就是直线MF与平面PAD所成角．取AD的中点G，连接BD，BG.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥AD，∴BG⊥平面PAD，过F作FH∥BG，交AD于H，则FH⊥平面PAD，连接MH，则∠FMH就是MF与平面PAD所成的角．又F是AB的中点，∴H是AG的中点．连接MG，又M是PD的中点，∴MG綊12PA.在Rt△MGH中，MG＝12PA＝12，GH＝14AD＝12，∴MH＝22.在正三角形ABD中，BG＝3，∴FH＝12BG＝32.在Rt△MHF中，MF＝222＋322＝52∴sin∠FMH＝FHFM＝3252＝155，∴直线BE与平面PAD所成角的正弦值为155.答案：155