【人教A版】必修2《4.2.3直线与圆的方程的应用》课后导练含解析

课后导练基础达标1以点（-3，4）为圆心，且与x轴相切的圆的方程是（）A.(x-3)2+(y+4)2=16B.(x+3)2+(y-4)2=16C.(x-3)2+(y+4)2=9D.(x+3)2+(y-4)2=9解析：设圆半径为r,由于圆心到切线之距等于圆半径，所以r=4.∴圆方程为（x+3）2+(y-4)2=16.答案：B2k为任意实数，直线（k+1）x-ky-1=0被圆（x-1）2+(y-1)2=4截得的弦长为（）A.8B.4C.2D.与k有关的值解析：圆心（1，1）到直线的距离为d=22)1(|1)1(|kkkk=0,∴直线过圆心，弦长为直径4.答案：B3过原点的直线与圆（x+2）+y2=1相切，若切点在第三象限，则该直线方程为()A.y=3xB.y=3xC.y=33xD.y=33x解析：如图连结圆心A和切点B，则AB⊥OB,∵|OA|=2,|AB|=1,∴∠AOB=30°,∴直线斜率k=33.答案：C4已知两直线l1：mx+y-2=0和l2:（m+2）x-3y+4=0与两坐标轴所围成的四边形有外接圆，则实数m的值是（）A.1或-3B.-1或3C.2或21D.21或-2解析：由于圆内接四边形对角互补，所以l1⊥l2，则(-m)·32m=-1,即m2+2m-3=0.得m=1或m=-3.答案：A5过点(5，12)且与圆x2+y2=169相切的直线的方程是___________-.解析：∵52+122=169,∴点在圆上.∵该点与圆心连线斜率为512，∴切线斜率为k=512，∴切线方程为y-12=512(x-5).答案：5x+12y-169=06以原点为圆心，在直线3x+4y+15=0上截得的弦长为8的圆的方程是___________-.解析：圆心到直线3x+4y+15=0之距离为d=515=3,∴圆半径r=2243=5.∴圆方程为x2+y2=25.答案：x2+y2=257与直线x+y=4平行且与圆x2+y2=8相切的直线方程是____________.解析：设所求直线方程为x+y+d=0,则由222||d，得d=4或d=-4（舍），∴所求直线方程为x+y+4=0.答案：x+y+4=08若圆x2+(y-1)2=1上任意点(x,y)都使不等式x+y+m≥0恒成立，则实数m的取值范围为_________.解析：x+y+m≥0恒成立m≥-(x+y)的最大值，令-x-y=d,即x+y+d=0,由于直线x+y+d=0与圆x2+(y-1)2=1有公共点，∴2|10|d≤1，∴-1-2≤d≤2-1.∴d的最大值为2-1,∴m≥2-1.答案：m≥2-1综合运用9若直线ax+by-3=0与圆x2+y2+4x-1=0切于点P（-1，2），则ab的积为__________.解析：将圆方程配方得(x+2)2+y2=5.由条件知点P在直线上，∴-a+2b-3=0.①又圆心（-2，0）与点P（-1，2）的连线与直线垂直，∴)()2(102ba=-1，即b=2a.②由①②联立解得.2,1ba∴ab=2.答案：210已知四边形ABCD是平行四边形.求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).证明：设AC与BD交点为O,以O为原点,以与AB平行的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设A(a,b),B(c,b),则C(-a,-b),D(-c,-b),∴|AC|2+|BD|2=(a+a)2+(b+b)2+(c+c)2+(b+b)2=4a2+4c2+8b2=4(a2+c2+2b2).又|AB|2=(a-c)2=a2+c2-2ac,|AD|2=(a+c)2+(b+b)2=a2+c2+2ac+4b2,∴|AB|2+|AD|2=2(a2+c2+2b2).故|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).11过点P(6,8)作两条互相垂直的直线PA,PB,分别交x轴正半轴于A,y轴正半轴于B.(1)求线段AB中点轨迹方程.(2)若S△AOB=S△APB,求PA与PB所在直线方程.解析：（1）设线段AB中点为M（x,y）（x0,y0）,由中点坐标公式得A（2x,0）,B(0,2y),∵PA⊥PB,∴kPA·kPB=-1,即x268628y=-1.得3x+4y-25=0.当PA斜率不存在时，A（6，0），B（0，8）.则AB中点M（3，4）也在直线3x+4y-25=0上，∴AB中点轨迹方程为3x+4y-25=0(x0,y0).(2)设A（a,0）,B(0,b)(a0,b0),则直线AB方程为byax=1，即bx+ay-ab=0.由S△AOB=S△APB知点O，P到直线AB距离相等，即2222|86|baababbaab.∴ab=4a+3b.①又由PA⊥PB得，6868ba=-1得3a+4b=50.②由①②得a=6,b=8或a=325,b=425,∴所求直线PA，PB方程分别为x=6,y=8或24x-7y-200=0,7x-24y-150=0.