【浙江专版】人教A版必修2《直线与圆》回扣验收特训(二)含解析

回扣验收特训（二）直线与圆1．点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是()A．在y轴内B．在xOy平面内C．在xOz平面内D．在yOz平面内解析：选C点A(2,0,3)的纵坐标为0，所以点A应在xOz平面内．2．若直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0的斜率为1，则实数m的值为()A．－1B.43C．－1或43D．1或12解析：选B由直线的斜率为1，得2m2＋m－1≠0，－m2－2m－32m2＋m－1＝1，解得m＝43，选B.3．过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m，n满足的关系式是()A．(m－2)2＋n2＝4B．(m＋2)2＋n2＝4C．(m－2)2＋n2＝8D．(m＋2)2＋n2＝8解析：选C圆x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r＝2.由题意，知(m－2)2＋n2＝8.4．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是()A．52B．25C．510D．105解析：选C根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于x轴的对称点A′到点B的距离，易求得A′(－3，－5)．所以|A′B|＝2＋32＋10＋52＝510.5．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()A．|b|＝2B．－1b≤1或b＝－2C．－1≤b≤1D．非A，B，C的结论解析：选B作出曲线x＝1－y2和直线y＝x＋b，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．将曲线x＝1－y2变为x2＋y2＝1(x≥0)．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，则满足|0－0－b|2＝1，|b|＝2，b＝±2.观察图像，可得当b＝－2或－1b≤1时，直线与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点．6．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.53B.213C.253D.43解析：选B在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝23|AD|＝233，从而|OE|＝|OA|2＋|AE|2＝1＋43＝213，故选B.7．圆x2＋y2－4x＋6＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线的方程是________．解析：由题意，知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为(2，－3)，圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为y＋33＝x－23－2，即3x－y－9＝0.答案：3x－y－9＝08．(全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.解析：由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.由|AB|＝23得3m－3m2＋12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|AB|cosπ6＝23×23＝4.答案：49．过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是________．解析：法一：设直线l的方程为y＝k(x－3)，将此方程分别与l1，l2的方程联立，得y＝kx－3，2x－y－2＝0和y＝kx－3，x＋y＋3＝0，解得xA＝3k－2k－2和xB＝3k－3k＋1，∵P(3,0)是线段AB的中点，∴xA＋xB＝6，即3k－2k－2＋3k－3k＋1＝6，解得k＝8.故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.法二：设直线l1上的点A的坐标为(x1，y1)，∵P(3,0)是线段AB的中点，则直线l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，∴2x1－y1－2＝0，6－x1＋－y1＋3＝0，解得x1＝113，y1＝163，∴点A的坐标为113，163，由两点式可得直线l的方程为8x－y－24＝0.答案：8x－y－24＝010．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．解：∵线段AB的中点为(1,2)，直线AB的斜率为1，∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2＝－(x－1)，即y＝－x＋3.联立y＝－x＋3，x＋3y－15＝0，解得x＝－3，y＝6，即圆心C为(－3,6)，则半径r＝－3＋12＋62＝210.又|AB|＝3＋12＋42＝42，∴圆心C到AB的距离d＝2102－222＝42，∴点P到AB的距离的最大值为d＋r＝42＋210，∴△PAB的面积的最大值为12×42×(42＋210)＝16＋85.11.如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．解：(1)由题意可知，E为AB的中点，∴E(3,2)，且kCE＝－1kAB＝1，∴CE所在直线方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.(2)由x－2y＋2＝0，x－y－1＝0，得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝12|AC|·|BC|＝2.12．已知：以点Ct，2t(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明：∵圆C过原点O，∴r2＝OC2＝t2＋4t2.设圆C的方程是(x－t)2＋y－2t2＝t2＋4t2.令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝12|OA|×|OB|＝12×4t×|2t|＝4，即△OAB的面积为定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC垂直平分线段MN.∵kMN＝－2，∴kOC＝12.∴直线OC的方程是y＝12x.∴2t＝12t.解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝155，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝5，此时C点到直线y＝－2x＋4的距离d＝955，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，舍去．∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.