1.3.1函数的单调性同步练习及答案解析

1.3.1单调性与最大（小）值建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是()A．y＝B．y＝3x2＋1C．y＝2xD．y＝|x|2．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x2时，f(x)单调递增，如果x1＋x24，且(x1－2)(x2－2)0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负3．已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，4x－x2，x0.若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)4.如果函数2()3(,4]fxxax在区间上单调递减，则实数a满足的条件是()A．(8，＋∞)B．[8,＋∞)C．(∞,8)D．(∞,8]5．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为()A．(－∞，－3]B．(－∞，－1]C．[1，＋∞)D．[－3，－1]二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)6.函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.7.已知函数2(1)21fxxxx，[1，2]，则()fx是(填序号).①[1，2]上的增函数；②[1，2]上的减函数；③[2，3]上的增函数；④[2，3]上的减函数.8．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0x1x21的任意x1、x2，给出下列结论：①f(x2)－f(x1)x2－x1；②x2f(x1)x1f(x2)；③f(x1)＋f(x2)2fx1＋x22.其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)9．已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．若a0，则f(x)的定义域是________.三、解答题(本大题共3小题，共46分)10．（14分）若函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围11．（16分）已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的最大值.12．（16分）定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论一、选择题1.D解析：由函数单调性定义知选D.2.A解析：因为(x1－2)(x2－2)0，若x1x2，则有x12x2，即2x24－x1.又当x2时，f(x)单调递增且f(－x)＝－f(x＋4)，所以有f(x2)f(4－x1)＝－f(x1)，即f(x1)＋f(x2)0；若x2x1，同理f(x1)＋f(x2)0，故选A.3.C解析：f(x)＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，x≥0，4x－x2＝－(x－2)2＋4，x0，由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)f(a)得2－a2a，即a2＋a－20，解得－2a1.故选C.4.B解析：2()3fxxax图象的对称轴是直线2ax,它的递减区间是,2a,因为fx在区间(,4]上递减,所以(,4],2a,所以4,8.2aa故5.A解析：该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝2x＋2x－3图象的对称轴为直线x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．二、填空题6.－3解析：f(x)＝2(x－m4)2＋3－m28，由题意得m4＝2，∴m＝8.∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝3.7.③解析：2221112xfxxx,所以22,2,3fxxx，由二次函数的知识知,xf是[2，3]上的增函数.8.②③解析：由f(x2)－f(x1)x2－x1，可得f(x2)－f(x1)x2－x11，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2f(x1)x1f(x2)得f(x1)x1f(x2)x2，即表示点(x1，f(x1))与原点连线的斜率大于点(x2，f(x2))与原点连线的斜率，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断结论③是正确的．9.－∞，3a解析：当a0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤3a，即此时函数f(x)的定义域是－∞，3a.三、解答题10.解：f(x)＝ax＋1x＋2＝a(x＋2)＋1－2ax＋2＝1－2ax＋2＋a.任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1－2ax1＋2－1－2ax2＋2＝(1－2a)(x2－x1)(x1＋2)(x2＋2).∵函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)0.∵x2－x10，x1＋20，x2＋20，∴1－2a0，故a12.即实数a的取值范围是12，＋∞.点评：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x1－x2与f(x1)－f(x2)是同号还是异号构造不等式来求字母的取值范围．11.解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)任取且0≤x1x2≤1，则x2－x1∈(0,1，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0.即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.12.解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)函数f(x)在R上单调递减．证明如下：任取x1，x2∈R，且设x1x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，由于x2－x10，所以0f(x2－x1)1.在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.当x0时，0f(x)1，所以f(－x)＝10，又f(0)＝1，所以对于任意的x∈R均有f(x)0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]0，即f(x2)f(x1)．所以函数f(x)在R上单调递减