1.3.2奇偶性同步练习及答案解析

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1.3.2奇偶性建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题(本大题共5个小题,每小题6分,共30分)1.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则()A.31a,b=0B.a=-1,b=0C.a=1,b=0D.a=3,b=02.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)3.若函数f(x)=ax+1x(a∈R),则下列结论正确的是()A.任意a∈R,函数f(x)在(0,+∞)上是增函数B.任意a∈R,函数f(x)在(0,+∞)上是减函数C.存在a∈R,函数f(x)为奇函数D.存在a∈R,函数f(x)为偶函数4.若函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(2)=0,则()()fxfxx的解集为()A.(-2,0)∪(0,2)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)5.设偶函数f(x)的定义域为R,当[0,)x时,f(x)是增函数,则(2)()(3)fff,,的大小关系是()A.f(π)f(3)f(2)B.f(π)f(2)f(3)C.f(π)f(3)f(2)D.f(π)f(2)f(3)二、填空题(本大题共4个小题,每小题6分,共24分)6.若函数)(xf满足)()(xfxf,并且0x时,12)(3xxxf,则当0x时,)(xf=.7.若y=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则m=_________.8.已知函数f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1).若f(a)=-2,则实数a=________.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=-,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)=________.三、解答题(本大题共3个小题,共46分)10.(14分)判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2x2+2xx+1;(2)f(x)=1-x2+x2-1;(3)f(x)=4-x2|x+2|-211.(15分)设函数y=f(x)(xR且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),求证:f(x)是偶函数.12.(17分)已知函数f(x)=222,0,0,0,,0xxxxxmxx是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围一、选择题1.A解析:由f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数,得b=0.又定义域为[a-1,2a],∴a-1=2a,∴31a.故选A.2.D解析:∵f(x-4)=-f(x),∴T=8.又f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在[0,2]上是增函数,∴f(x)在[0,2]上恒大于等于0.又f(x)是奇函数,∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)在[2,0]上恒小于等于0..易知x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)≥0,且f(x)为减函数.同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0.如图.∵f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0)=0,∴f(-25)<f(80)<f(11).3.C解析:当a=1时,函数f(x)在(0,1)上为减函数,A错;当a=1时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,B错;D选项中的a不存在.4.A解析:因为函数f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,f(2)=0,所以x2或-2x0时,f(x)0;x-2或0x2时,f(x)0.0,即0,可知-2x0或0x2.5.A解析:因为fx是偶函数,所以22,33.ffff因为当[0,)x时是增函数,所以23,23ffffff所以ππ.二、填空题6.321xx解析:当0x时,0x,332121fxfxxxxx.7.0解析:因为函数y=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3=(m1)x2+2mx+3,整理,得m=0.8.-1解析:令x0,则-x0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(x)为奇函数,所以当x0时,f(x)=x(1-x).当0时,f(a)=a(1-a)=-2,得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2(舍去).当0时,即,无解.9.-0.5解析:由f(x+2)=-,得f(x+4)=-=f(x),故f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而1≤x≤2时,f(x)=x-2,∴f(1.5)=-0.5.故f(6.5)=-0.5.三、解答题10.解:(1)函数的定义域为{x|x≠-1,},不关于原点对称,∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由2210,10xx≥≥得x=±1,此时f(x)=0,x∈{-1,1}.∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)∵4-x2≥0,|x+2|-2≠0,∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.此时f(x)=4-x2|x+2|-2=4-x2x.又f(-x)=24()xx=-4-x2x=-f(x),∴f(x)=4-x2|x+2|-2为奇函数.11.证明:由x1,x2R且不为0的任意性,令x1=x2=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0.又令x1=x2=-1,则f[-1×(-1)]=2f()=0,∴(-1)=0.又令x1=-1,x2=x,∴f(-x)=f(-1)+f(x)=0+f(x)=f(x),即f(x)为偶函数.点评:抽象函数要注意变量的赋值,特别要注意一些特殊值,如x1=x2=1,x1=x2=-1或x1=x2=0等,然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可.12.解:(1)设x0,则-x0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象知a-2-1,a-2≤1,所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3]

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