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课后提升作业二十几何概型(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·厦门高一检测)两根电线杆相距100m,若电线遭受雷击,且雷击点距电线杆10m之内时,电线杆上的输电设备将受损,则遭受雷击时设备受损的概率为()A.0.1B.0.2C.0.05D.0.5【解析】选B.如图,两根电线杆相距MN=100m,MP=10m,QN=10m,则当雷击点在MP或QN范围上时,设备受损,故P==0.2.2.将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A.B.C.D.【解题指南】求出阴影部分的面积,利用几何概型求概率.【解析】选B.阴影部分的面积S阴=π×12=,长方形的面积S=2×1=2.所以由几何概型知质点落在以AB为直径的半圆内的概率是==.3.(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=.【补偿训练】如图,在正方形围栏内均匀撒米粒,一只小鸡在其中随意啄食,此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.设事件A表示小鸡正在正方形的内切圆中,则事件A的几何区域为内切圆的面积S=πR2(2R为正方形的边长),全体基本事件的几何区域为正方形的面积,由几何概型的概率公式可得P(A)==,即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取点,则该点落在三棱锥A1-ABC内的概率是()A.B.C.D.【解析】选B.体积型几何概型问题.P==.5.如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点,若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P===.6.如图所示,设M是半径为R的圆周上一个定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长超过R的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.过圆心O作与OM垂直的直径CD,连接MD,MC,则MD=MC=R.当点N不在半圆弧上时,MNR,故所求的概率P==.7.若过正三角形ABC的顶点A任作一条直线L,则L与线段BC相交的概率为()A.B.C.D.【解题指南】从角度方面考虑,注意和射线的区别.【解析】选B.由于直线向两端无限延伸,当直线绕点A旋转时,直线和线段BC相交的概率为=.【延伸探究】本题中若将直线改为射线,则结果如何呢?【解析】选C.由于射线不是向两端无限延伸的,所以当射线绕点A旋转时,射线和线段BC相交的概率为=.8.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使△APB的最大边是AB”发生的概率为,则=()A.B.C.D.【解题指南】解本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件,首先是确定ADAB,然后作出矩形ABCD,最后分别以A,B为圆心以AB为半径作圆弧交CD于F,E,当EF=CD时满足题意.【解析】选D.如图,在矩形ABCD中,以B,A为圆心,以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB=4,则DF=3,AF=AB=4,在直角三角形ADF中,AD==,所以=.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2015·山东高考改编)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤lo≤1”发生的概率为________.【解题指南】本题是以对数函数为背景的长度之比型几何概型的计算.【解析】由-1≤lo≤1得≤x+≤2,即0≤x≤,故所求概率为=.答案:10.一个球形容器的半径为3cm,里面装有纯净水,因不小心混入了1个感冒病毒,从中任取1mL水(体积为1cm3),含有感冒病毒的概率为________.【解析】水的体积为πR3=π·33=36π(cm3)=36π(mL),则含感冒病毒的概率为P=.答案:三、解答题11.(10分)已知函数f(x)=-x2+ax-b.(1)若a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率.(2)若a,b都是从区间[0,4]任取的一个数,求f(1)0成立时的概率.【解题指南】准确判断概率模型是古典概型还是几何概型的关键是:基本事件是否只有有限个,每个基本事件发生是否等可能.【解析】(1)a,b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=5×5=25(个).函数有零点的条件为Δ=a2-4b≥0,即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共12个.所以事件“a2≥4b”的概率为P=.(2)因为a,b都是从区间[0,4]上任取的一个数,f(1)=-1+a-b0,所以a-b1,此为几何概型,所以事件“f(1)0”的概率为P==.