第二章基本初等函数I自主检测试卷及答案

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第二章自主检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题5分,共50分)1.下列结论中正确的个数有()①幂函数的图象一定过原点;②当α0时,幂函数是减函数;③当α0时,幂函数是增函数;④函数y=2x2既是二次函数,又是幂函数.A.0个B.1个C.2个D.3个2.方程3x-1=19的解为()A.2B.-2C.1D.-13.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是()ABCD4.已知x,y为正实数,则()A.2lgx+lgy=2lgx+2lgyB.2lg(x+y)=2lgx·2lgyC.2lgx·lgy=2lgx+2lgyD.2lg(xy)=2lgx·2lgy5.下列函数在(0,+∞)上是增函数的是()A.y=9-x2B.y=x·log0.23+1C.y=x12D.y=2x6.已知三个对数函数:y=logax,y=logbx,y=logcx,它们分别对应如图2­1中标号为①②③三个图象,则a,b,c的大小关系是()图2­1A.abcB.bacC.cabD.cba7.已知函数f(x)=log2x,x0,2x,x≤0,若f(a)=12,则a=()A.-1B.2C.-1或2D.1或-28.记函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x).如果函数y=f(x)的图象过点(1,0),那么函数y=f-1(x)+1的图象过点()A.(0,0)B.(0,2)C.(1,1)D.(2,0)9.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,又f(1)=0,则满足f(log2x)0的x的取值范围是()A.(2,+∞)B.0,12C.0,12∪(2,+∞)D.12,210.设a,b,c均为正数,且2a=log12a,12b=log12b,12c=log2c.则()A.abcB.cbaC.cabD.bac二、填空题(每小题5分,共20分)11.若幂函数的图象经过点(9,3),则f(64)=________________.12.lg5+lg20的值为____________.13.已知3a=2,3b=15,则32a-b=____________.14.里氏震级M的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅A0为0.001,则此次地震的震级为________级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.三、解答题(共80分)15.(12分)计算:(1)91612+31000-642713+3·e0;(2)lg27+lg8-log4812lg0.3+lg2.16.(12分)求函数y=log0.32x-12的定义域.17.(14分)求函数y=4x-2x+1(x∈[-2,3])的值域.18.(14分)已知函数f(x)=2x+2-x2,g(x)=2x-2-x2.(1)计算:[f(1)]2-[g(1)]2;(2)证明:[f(x)]2-[g(x)]2是定值.19.(14分)已知函数f(x)=a·2x+a-12x+1.(1)求证:不论a为何实数,f(x)总是为增函数;(2)确定a的值,使f(x)为奇函数;(3)当f(x)为奇函数时,求f(x)的值域.20.(14分)已知函数f(x)=loga1-mxx-1是奇函数(a0,a≠1).(1)求m的值;(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明;(3)当a1,x∈(r,a-2)时,f(x)的值域是(1,+∞),求a与r的值.第二章自主检测1.A2.D3.A4.D5.C6.C解析:作直线y=1,与图象交点的横坐标为相应解析式的底.7.C8.B解析:∵y=f(x)的图象过点(1,0),∴其反函数y=f-1(x)必过点(0,1),即f-1(0)=1.∴y=f-1(x)+1的图象过点(0,2).9.C10.A11.8解析:设幂函数为f(x)=xα,点(9,3)满足解析式,则3=9α,即3=32α,∴α=12,∴f(x)=x12,f(64)=(64)12=8.12.1解析:lg5+lg20=lg100=1.13.20解析:32a-b=(3a)2÷3b=4÷15=20.14.610000解析:由M=lgA-lgA0知,M=lg1000-lg0.001=6,故此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lgA1A2=lgA1-lgA2=(lgA1-lgA0)-(lgA2-lgA0)=9-5=4.所以A1A2=104=10000.故9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍.15.解:(1)原式=34122+(10)133-34133+3×1=34+10-34+3=13.(2)原式=233322lg3lg2log213lglg2210=32lg3+2lg2-112lg3+2lg2-1=3.16.解:由题意,得log0.3(2x-12)≥0.因为y=log0.3u是(0,+∞)上的减函数,所以2x-120,2x-12≤1,解得6x≤132.所以所求函数的定义域是6,132.17.解:令t=2x,因为x∈[-2,3],所以2-2≤2x≤23,即t∈14,8.又y=t-122+34,当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.所以原函数的值域是34,57.18.(1)解:[f(1)]2-[g(1)]2=[f(1)+g(1)]·[f(1)-g(1)]=2×12=1.(2)证明:∵[f(x)]2-[g(x)]2=[f(x)+g(x)]·[f(x)-g(x)]=2x+2-x2+2x-2-x22x+2-x2-2x-2-x2=2x·2-x=1,为定值.即本题得证.19.(1)证明:依题意,f(x)的定义域为(-∞,+∞),原函数即为f(x)=a-12x+1.设x1x2,则f(x1)-f(x2)=a-1121x-a+2121x=121222(12)(12)xxxx.∵x1x2,∴2x1-2x20,(1+2x1)(1+2x2)0.∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).∴不论a为何实数,f(x)总为增函数.(2)解:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-12-x+1=-a+12x+1,则2a=12-x+1+12x+1=2x2x+1+12x+1=1.解得a=12.∴f(x)=12-12x+1.(3)解:由(2)知:f(x)=12-12x+1.∵2x+11,012x+11,∵-1-12x+10,∴-12f(x)12.∴函数f(x)的值域为-12,12.20.解:(1)由题意,f(x)+f(-x)=loga1-mxx-1+loga1+mx-x-1=logam2x2-1x2-1=0⇒m2x2-1=x2-1⇒m=±1,而m=1时,函数没意义,∴m=-1.(2)由(1),得f(x)=logax+1x-1(a0,a≠1),任取x1,x2∈(1,+∞),设x1x2,令t(x)=x+1x-1,则t(x1)=x1+1x1-1,t(x2)=x2+1x2-1.t(x1)-t(x2)=x1+1x1-1-x2+1x2-1=2x2-x1x1-1x2-1.∵x11,x21,x1x2,∴x1-10,x2-10,x2-x10.∴t(x1)t(x2),即x1+1x1-1x2+1x2-1.∴当a1时,logax1+1x1-1logax2+1x2-1,f(x)在(1,+∞)是减函数;当0a1时,f(x)在(1,+∞)是增函数.(3)当a1时,要使f(x)值域是(1,+∞),则logax+1x-11,∴x+1x-1a,即1-ax+a+1x-10.而a1,∴上式化为x-a+1a-1x-10.①又f(x)=logax+1x-1=loga(1+2x-1),∴当x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0,因而欲使f(x)的值域是(1,+∞),必须x1.∴不等式①,当且仅当1xa+1a-1时成立.∴r=1,a-2=a+1a-1,a1.解得r=1,a=2+3.

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