第二章基本初等函数I自主检测试卷及答案

第二章自主检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列结论中正确的个数有()①幂函数的图象一定过原点；②当α0时，幂函数是减函数；③当α0时，幂函数是增函数；④函数y＝2x2既是二次函数，又是幂函数．A．0个B．1个C．2个D．3个2．方程3x－1＝19的解为()A．2B．－2C．1D．－13．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()ABCD4．已知x，y为正实数，则()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD．2lg(xy)＝2lgx·2lgy5．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是()A．y＝9－x2B．y＝x·log0.23＋1C．y＝x12D．y＝2x6．已知三个对数函数：y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，它们分别对应如图2­1中标号为①②③三个图象，则a，b，c的大小关系是()图2­1A．abcB．bacC．cabD．cba7．已知函数f(x)＝log2x，x0，2x，x≤0，若f(a)＝12，则a＝()A．－1B.2C．－1或2D．1或－28．记函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x)．如果函数y＝f(x)的图象过点(1,0)，那么函数y＝f－1(x)＋1的图象过点()A．(0,0)B．(0,2)C．(1,1)D．(2,0)9．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝0，则满足f(log2x)0的x的取值范围是()A．(2，＋∞)B.0，12C.0，12∪(2，＋∞)D.12，210．设a，b，c均为正数，且2a＝log12a，12b＝log12b，12c＝log2c.则()A．abcB．cbaC．cabD．bac二、填空题(每小题5分，共20分)11．若幂函数的图象经过点(9,3)，则f(64)＝________________.12．lg5＋lg20的值为____________．13．已知3a＝2,3b＝15，则32a－b＝____________.14．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．三、解答题(共80分)15．(12分)计算：(1)91612＋31000－642713＋3·e0；(2)lg27＋lg8－log4812lg0.3＋lg2.16．(12分)求函数y＝log0.32x－12的定义域．17．(14分)求函数y＝4x－2x＋1(x∈[－2,3])的值域．18．(14分)已知函数f(x)＝2x＋2－x2，g(x)＝2x－2－x2.(1)计算：[f(1)]2－[g(1)]2；(2)证明：[f(x)]2－[g(x)]2是定值．19．(14分)已知函数f(x)＝a·2x＋a－12x＋1.(1)求证：不论a为何实数，f(x)总是为增函数；(2)确定a的值，使f(x)为奇函数；(3)当f(x)为奇函数时，求f(x)的值域．20．(14分)已知函数f(x)＝loga1－mxx－1是奇函数(a0，a≠1)．(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a1，x∈(r，a－2)时，f(x)的值域是(1，＋∞)，求a与r的值．第二章自主检测1．A2.D3.A4.D5.C6．C解析：作直线y＝1，与图象交点的横坐标为相应解析式的底．7．C8．B解析：∵y＝f(x)的图象过点(1,0)，∴其反函数y＝f－1(x)必过点(0,1)，即f－1(0)＝1.∴y＝f－1(x)＋1的图象过点(0,2)．9．C10.A11．8解析：设幂函数为f(x)＝xα，点(9,3)满足解析式，则3＝9α，即3＝32α，∴α＝12，∴f(x)＝x12，f(64)＝(64)12＝8.12．1解析：lg5＋lg20＝lg100＝1.13．20解析：32a－b＝(3a)2÷3b＝4÷15＝20.14．610000解析：由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，故此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lgA1A2＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.所以A1A2＝104＝10000.故9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．15．解：(1)原式＝34122＋(10)133－34133＋3×1＝34＋10－34＋3＝13.(2)原式＝233322lg3lg2log213lglg2210＝32lg3＋2lg2－112lg3＋2lg2－1＝3.16．解：由题意，得log0.3(2x－12)≥0.因为y＝log0.3u是(0，＋∞)上的减函数，所以2x－120，2x－12≤1，解得6x≤132.所以所求函数的定义域是6，132.17．解：令t＝2x，因为x∈[－2,3]，所以2－2≤2x≤23，即t∈14，8.又y＝t－122＋34，当t＝12时，ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.所以原函数的值域是34，57.18．(1)解：[f(1)]2－[g(1)]2＝[f(1)＋g(1)]·[f(1)－g(1)]＝2×12＝1.(2)证明：∵[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]＝2x＋2－x2＋2x－2－x22x＋2－x2－2x－2－x2＝2x·2－x＝1，为定值．即本题得证．19．(1)证明：依题意，f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，原函数即为f(x)＝a－12x＋1.设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝a－1121x－a＋2121x＝121222(12)(12)xxxx.∵x1x2，∴2x1－2x20，(1＋2x1)(1＋2x2)0.∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴不论a为何实数，f(x)总为增函数．(2)解：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－12－x＋1＝－a＋12x＋1，则2a＝12－x＋1＋12x＋1＝2x2x＋1＋12x＋1＝1.解得a＝12.∴f(x)＝12－12x＋1.(3)解：由(2)知：f(x)＝12－12x＋1.∵2x＋11,012x＋11，∵－1－12x＋10，∴－12f(x)12.∴函数f(x)的值域为－12，12.20．解：(1)由题意，f(x)＋f(－x)＝loga1－mxx－1＋loga1＋mx－x－1＝logam2x2－1x2－1＝0⇒m2x2－1＝x2－1⇒m＝±1，而m＝1时，函数没意义，∴m＝－1.(2)由(1)，得f(x)＝logax＋1x－1(a0，a≠1)，任取x1，x2∈(1，＋∞)，设x1x2，令t(x)＝x＋1x－1，则t(x1)＝x1＋1x1－1，t(x2)＝x2＋1x2－1.t(x1)－t(x2)＝x1＋1x1－1－x2＋1x2－1＝2x2－x1x1－1x2－1.∵x11，x21，x1x2，∴x1－10，x2－10，x2－x10.∴t(x1)t(x2)，即x1＋1x1－1x2＋1x2－1.∴当a1时，logax1＋1x1－1logax2＋1x2－1，f(x)在(1，＋∞)是减函数；当0a1时，f(x)在(1，＋∞)是增函数．(3)当a1时，要使f(x)值域是(1，＋∞)，则logax＋1x－11，∴x＋1x－1a，即1－ax＋a＋1x－10.而a1，∴上式化为x－a＋1a－1x－10.①又f(x)＝logax＋1x－1＝loga(1＋2x－1)，∴当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，因而欲使f(x)的值域是(1，＋∞)，必须x1.∴不等式①，当且仅当1xa＋1a－1时成立．∴r＝1，a－2＝a＋1a－1，a1.解得r＝1，a＝2＋3.