河南省郑州市2018届高三上入学考试数学试题(理)含答案

郑州2017-2018上期高三入学测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{ln0}Axx，5{,,}2BxRzxizi是虚部单位，AB（）A．11(,][,1]22B．1[,1]2C．(0,1]D．[1,)2.已知向量,ab均为单位向量，若它们的夹角为060，则3ab等于（）A．7B．10C．13D．43.若二项式22()nxx展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）A．-1B．1C．27D．-274.将函数()fx的图象向左平移6个单位后得到函数()gx的图象如图所示，则函数()fx的解析式是（）A．()sin(2)6fxx（xR）B．()sin(2)6fxx（xR）C.()sin(2)3fxx（xR）D．()sin(2)3fxx（xR）5.已知两条不重合的直线,mn和两个不重合的平面,，若m，n，则下列四个命题：①若//，则mn；②若mn，则//；③若//mn，则；④若，则//mn其中正确命题的个数是（）A．0B．1C.2D．36.阅读下面程序框图，输出的结果s的值为（）A．32B．0C.32D．37.已知圆22()1xay与直线yx相切于第三象限，则a的值是（）A．2B．2C.2D．28.若变量,xy满足条件106010xyxyx，则xy的取值范围是（）A．[0,5]B．35[5,]4C.35[0,]4D．[0,9]9.在ABC中，060A，1b，3ABCS，则sincC（）A．8381B．2393C.2633D．2710.设mN，若函数()21010fxxmx存在整数零点，则符合条件的m的取值个数为（）A．2B．3C.4D．511.已知双曲线22221xyab（0,0ab）的左、右两个焦点分别为12,FF，以线段12FF为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若122MFMFb，该双曲线的离心率为e，则2e（）A．2B．212C.3222D．51212.数学上称函数ykxb（,kbR，0k）为线性函数，对于非线性可导函数()fx，在点0x附近一点x的函数值()fx，可以用如下方法求其近似代替值：'000()()()()fxfxfxxx，利用这一方法，4.001m的近似代替值（）A．大于mB．小于mC.等于mD．与m的大小关系无法确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数2()fxaxb（0a），若300()3()fxdxfx，00x，则0x．14.由数学2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为．15.下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为22的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是．16.已知函数22cos[(1)sin[(1)]44()45xxfxxx（40x），则()fx的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.等差数列{}na中，已知35a，且123,,aaa为递增的等比数列.（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}nb的通项公式1212,212,2nnnankbnk（*kN），求数列{}nb的前n项和nS.18.河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12月29日12时将黄色预警升级为红色预警，12月30日0时启动I级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：年龄（岁）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469634（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在[25,35)，[65,75]两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.19.如图所示的多面体中，ABCD是平行四边形，BDEF是矩形，BD面ABCD，6ABD，2ABAD.（1）求证：平面BDEF平面ADE；（2）若EDBD，求AF与平面AEC所成角的正弦值.20.已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的离心率为32，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.（1）求椭圆C的方程；（2）如图，斜率为12的直线l与椭圆C交于,AB两点，点(2,1)P在直线l的左上方，若090APB，且直线,PAPB分别与y轴交于,MN点，求线段MN的长度21.已知函数ln()xfxxa（aR），曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线10xy垂直.（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()gxfxk有两个不同的零点12,xx，证明：212xxe.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为cos1sinxtyt，（t为参数，[0,)），以原点O为极点，以x轴正关轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为2cos4sin.（1）设(,)Mxy为曲线C上任意一点，求xy的取值范围；（2）若直线l与曲线C交于两点,AB，求AB的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知()215fxxax（05a）（1）当1a时，求不等式()9fx的解集；（2）如果函数()yfx的最小值为4，求实数a的值.试卷答案一、选择题1-5:BCAAC6-10:CBDBC11、12：DA二、填空题13.314.1015.4316.22三、解答题17.解：（1）设数列{}na的公差为d，由题意2333(2)(2)()adadad，即220dd，解之得2d或0d（舍去），所以3(3)21naandn，即21nan，*nN为所求（2）当2nk，*kN时，121321242nnkkSbbbbbbbbb01112(222)kkaaa2(121)1221212kkkkk22214nn；当21nk，*kN时，12nk11122122211(1)23212244nnnnnnnnnSSb综上，2212221,24232,214nnnnnkSnnnk，（*kN）18.解：（1）补全频率分布直方图如图年示：（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3，2264225109015(0)45075CCPXCC，2111264644222251051020434(1)45075CCCCCPXCCCC，1112246444222251051013222(2)45075CCCCCPXCCCC，124422510244(3)45075CCPXCCX0123P1575347522754751534224()01231.275757575EX所以X的数学期望为()1.2EX.19.（1）证明：在平行四边形ABCD中，6ABD，2ABAD，由余弦定理，得3BDAD，从而222BDADAB，故BDAD.可得ABD为直角三角形且090ADB，又由DE平面ABCD，BD平面ABCD，得DEBD又ADDED，所以BD平面ADE.由BD平面BDEF，得平面BDEF平面ADE，（2）解：由（1）可得在RtABD中，3BAD，3BDAD，又由EDBD设1AD，3BDED，由DE平面ABCD，BDAD，建立以D为坐标原点，以射线,,DADBDE分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：得(1,0,0)A，(1,3,0)C，(0,0,3)E，(0,3,3)F设平面AEC的法向量为(,,)nxyz，得00nAEnAC，所以30230xzxy令1z，得(3,2,1)n又因为(1,3,3)AF，所以42cos,14nAFnAFnAF所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为4214.20.解：（1）由题意知2223228caababc，解之得：28a，22b所以椭圆C的方程为22182xy（2）设直线1:2lyxm，11(,)Axy，22(,)Bxy将12yxm代入22182xy中，化简整理，得222240xmxm22(2)4(24)0mm，得22m于是有122xxm，21224xxm，1112PAykx，2212PBykx，注意到121221121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)PAPByyyxyxkkxxxx上式中，分子122111(1)(2)(1)(2)22xmxxmx1212(2)()4(1)xxmxxm224(2)(2)4(1)0mmmm从而，0PAPBkk，由090APB，可知1,1PAPBkk所以PMN是等腰直角三角形，24PMNx即为所求.21.解：（1）依题意得'2ln()()xaxxfxxa，所以'211()(1)1afxaa，又由切线方程可得'(1)1f，即111a，解得0a此时ln()xfxx，'21ln()xfxx，令'()0fx，即1ln0x，解得0xe；令'()0fx，即1ln0x，解得xe所以()fx的增区间为(0,)e，减区间为(,)e所以(2016)(2017)ff，即ln2016ln201720162017，2017ln20162016ln2017，2017201620162017.（2）证明：不妨设120xx因为12()()0gxgx所以化简得11ln0xkx，22ln0xkx可得1212lnln()xxkxx，1212lnln()xxkxx.要证明212xxe，即证明12lnln2xx，也就是12()2kxx因为1212lnlnxxkxx，所以即证121212lnln2xxxxxx即112212lnxxxxxx，令12xtx，则1t，即证2(1)ln1ttt.令2(1)()ln1thttt（1t），由2'2214(1)()0(1)(1)thttttt故函数()ht在(1,)是增函数，所以()(1)0hth，即2(1)ln1ttt得证.所以212xxe.22.解：（1）将曲线C的极坐标方程2cos4sin，化为直角坐标方程为24xy∵(,)Mxy为曲线C上任意一点，∴2211(2)144xyxxx∴xy的取值范围是[1,).（2）将cos1sinxtyt，代入24xy整理得22cos4sin40tt，∴2216sin16