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第1页（共19页）2015-2016学年湖南省东部六校高三（上）12月联考数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合M={﹣2，﹣1，0，1}，N={x|≤2x≤4}，x∈Z}，则M∩N=（）A．M={﹣2，﹣1，0，1，2}B．M={﹣1，0，1，2}C．M={﹣1，0，1}D．M={0，1}2．已知i是虚数单位，设复数z1=1+i，z2=1+2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．函数y=lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增B．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减4．设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣B．C．﹣3D．35．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）6．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A．4B．6C．8D．107．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．第2页（共19页）8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）A．4B．8C．4D．89．实数x，y满足（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4B．8C．10D．1211．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A．B．C．﹣D．﹣12．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f2（x）﹣axf（x）恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．（2，3）D．（0，2）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后横线上）13．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为．第3页（共19页）14．若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是x﹣y+1=0，则ab=．15．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2，则双曲线C1的离心率为．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）=，若a=2，则△ABC的面积的最大值是．三、解答题（共6小题，总计70分）17．2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70），[70，75），[80，85），[85，90）后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．18．已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=an+log2，Sn=b1+b2+…bn，求使Sn﹣2n+1+47＜0成立的正整数n的最小值．19．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB=AD=CD=1．现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．（1）求证：BC⊥平面BDE；第4页（共19页）（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F﹣BDE的体积．20．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方（1）求圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程；（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=﹣2x2+ax﹣lnx（a∈R），g（x）=+3．（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x∈（0，e），都有唯一的xo∈[e﹣4，e]，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求实数a的取值范围．22．已知直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ2cos2θ=1（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若求直线，被曲线c截得的弦长为2，求m的值．第5页（共19页）2015-2016学年湖南省东部六校高三（上）12月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合M={﹣2，﹣1，0，1}，N={x|≤2x≤4}，x∈Z}，则M∩N=（）A．M={﹣2，﹣1，0，1，2}B．M={﹣1，0，1，2}C．M={﹣1，0，1}D．M={0，1}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：∵N={x|≤2x≤4}，x∈Z}={x∈Z|﹣1≤x≤2}={﹣1，0，1，2}，集合M={﹣2，﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣1，0，1}．故：C．2．已知i是虚数单位，设复数z1=1+i，z2=1+2i，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：===在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．3．函数y=lg|x|（）A．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增B．是偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减C．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增D．是奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减【考点】对数函数的单调区间；函数奇偶性的判断．【分析】先求出函数的定义域，然后根据奇偶性的定义进行判定，最后根据复合函数单调性的判定方法进行判定即可．【解答】解：函数y=lg|x|定义域为{x|x≠0}，而lg|﹣x|=lg|x|，所以该函数为偶函数，|x|在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，第6页（共19页）∴函数y=lg|x|在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；故选B4．设向量，=（2，sinα），若，则tan（α﹣）等于（）A．﹣B．C．﹣3D．3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正切函数．【分析】利用⇔，即可得出tanα，再利用两角差的正切公式即可得出．【解答】解：∵，∴2cosα﹣sinα=0，即tanα=2．∴=，故选B．5．将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，当k=0时，可得函数在区间（﹣，）单调递增．故选：A．6．已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A．4B．6C．8D．10【考点】等比数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由等比中项的性质列出，再代入等差数列的通项公式和前n项和公式，用a1和d表示出来，求出a1和d的关系，进而求出式子的比值．第7页（共19页）【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴=a1×，∴=2a1（2a1+3d），∴d2=2a1d，解得d=2a1或d=0（舍去），∴===8，故选C．7．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c=1，由离心率可得a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为+=1，故选A．8．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）A．4B．8C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体底面是边长为4的正三角形，高为4的三棱锥，第8页（共19页）且侧棱垂直于底面三角形的一个顶点，如图所示；则两个垂直底面的侧面面积为S△PAC=S△PAB=×4×4=8；底面面积为S△ABC=×42×sin60°=4；另一个侧面的面积为S△PBC=×4×=4；所以四个面中面积的最大值为4．故选：C．9．实数x，y满足（a＜1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B．第9页（共19页）10．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A．4B．8C．10D．12【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6，8．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=2时，S=（1×2）=2，i=2+2=4，k=2；当i=4时，S=（2×4）=4，i=4+2=6，k=3；当i=6时，S=（4×6）=8，i=6+2=8，k=4；当i=8时，不满足i＜8，退出循环，输出S=8．故选B．第10页（共19页）11．已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为．则cos∠POQ=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sin∠xOP和cos∠xOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cos∠xOP和sin∠xOQ，再利用两角和的余弦公式求得cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）的值．【解答】解：由题意可得，sin∠xOP=，∴cos∠xOP=；再根据cos∠xOQ=，可得sin∠xOQ=．∴cos∠POQ=cos（∠xOP+∠xOQ）=cos∠xOP•cos∠