湖南师大附中2014年高一上数学期末试题及答案

必考Ⅰ部分一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知过点(2,)Am和(,4)Bm的直线与直线012yx平行，则m的值为（A）A．8B．0C．2D．102、过点(1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（B）A．052yxB．012yxC．052yxD．072yx3、下列四个结论：⑴两条不同的直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。⑵两条不同的直线没有公共点，则这两条直线平行。⑶两条不同直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为（A）A．0B．1C．2D．34、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（B）Ａ．28cmＢ．212cmＣ．216cmＤ．220cm5、圆122yx上的点到点(3,4)M的距离的最小值是（B）A．1B．4C．5D．66、若)1,2(P为圆25)1(22yx的弦AB的中点，则直线AB的方程是（D）A.052yxB.032yxC.01yxD.03yx7、把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以,,,ABCD四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（C）A．90B．60C．45D．30二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分；把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．8、在空间直角坐标系中，点(1,1,3)A与点(1,3,0)B的距离为5.9、方程022myxyx表示一个圆，则m的取值范围是)21,(.10、如图，正方体1111ABCDABCD中，2AB，点E为AD的中点，点F在CD上，若1//EFABC平面，则线段EF的长度等于2．11、直线01yax恒经过定点P，则P点的坐标为)1,0(12、一个底面为正三角形，侧棱与底面垂直的棱柱，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积348.为【第12题图】【第13题图】13、如图，二面角CEFG的大小是60°，线段AB在平面EFGH上，B在EF上，AB与EF所成的角为30°，则AB与平面CDEF所成的角的正弦值是34三．解答题：本大题共3小题，共35分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14、(满分11分）某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三视图（如图），其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆，三视图尺寸如图所示（单位cm）；（1）求出这个工件的体积；（2）工件做好后，要给表面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样的工件，请计算喷漆总费用（精确到整数部分）.【解析】（1）由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4，母线长为3，.........................................2分设圆锥高为h，A1ABB1D1C1CD则52322h........................4分则)(3545431313132cmhRShV...6分（2）圆锥的侧面积61RlS，.........8分则表面积=侧面积+底面积=1046（平方厘米）喷漆总费用=3141001010元...............11分15、（满分12分）如图，在正方体1111ABCDABCD中，（1）求证：111ADCDAB平面;（2）求直线1AD与直线BD所成的角【解析】(1)在正方体中DAAD11，又1111AADDBA面，且111AADDAD面,则111BAAD,而111,BADA在平面11BCDA内，且相交故111ADCDAB平面；...........................................6分（2）连接111,ABDB，因为BD平行11DB，则11BAD即为所求的角，而三角形11DAB为正三角形，故6011BAD，则直线1AD与直线BD所成的角为60.......................................12分16、（满分12分）已知圆C22243xyxy=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程。【解析】：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为xya.............1分∴圆心C（-1,2）到切线的距离等于圆半径2，..............3分即122a=2...................4分∴1a或3a..................5分所求切线方程为：10xy或30xy………………6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合故直线0x.................8分当直线斜率存在时，设直线方程为ykx，即0kxy由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分则223141kkk，.................11分直线方程为34yx综上，直线方程为0x，34yx.................12分必考Ⅱ部分四、本部分共5个小题，满分50分，计入总分．17（满分5分）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点1P，2P分别是线段AB，1BD（不包括端点）上的动点，且线段12PP平行于平面11AADD，则四面体121PPAB的体积的最大值是12418（满分5分）在平面直角坐标系内，设),(11yxM、),(22yxN为不同的两点，直线l的方程为0cbyax，设cbyaxcbyax2211．有下列四个说法：①存在实数，使点N在直线l上；②若1，则过M、N两点的直线与直线l平行；③若1，则直线l经过线段MN的中点；④若1，则点M、N在直线l的同侧，且直线l与线段MN的延长线相交.上述说法中，所有正确说法的序号是②③④19（满分13分）已知：以点C(t,2t)(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A，与y轴交于点O,B，其中O为原点．（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=–2x+4与圆C交于点M,N，若OM=ON，求圆C的方程．【解析】（1）OC过原点圆，2224ttOC．设圆C的方程是22224)2()(tttytx此时C到直线42xy的距离559d，圆C与直线42xy相交于两点．............................................10分当2t时，圆心C的坐标为)1,2(，5OC，此时C到直线42xy的距离559d圆C与直线42xy不相交，2t不符合题意舍去．....................................11分圆C的方程为5)1()2(22yx．...........................13分20（满分13分）如图，四棱锥SABCD中，AB∥CD,BCCD，侧面SAB为等边三角形.2,1ABBCCDSD.（1）证明：SDSAB平面（2）求AB与平面SBC所成角的正弦值。【解析】（1）证明：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。连结SE，则,3SEABSE又SD=1，故222EDSESD所以DSE为直角。由,,ABDEABSEDESEE，得ABSDE平面,所以ABSD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以SDSAB平面..........................6分（II）由ABSDE平面知，ABCDSDE平面平面作SFDE，垂足为F，则SFABCD平面,32SDSESFDE作FGBC，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则SGBC又FGBC，SGFGG,故,BCSFGSBCSFG平面平面平面，作FHSG，H为垂足，则FHSBC平面.37SFFGFHSG即F到平面SBC的距离为217。（1）若5,0MPt，求直线PA的方程；（2）经过MPA,,三点的圆的圆心是D，求线段DO(O为坐标原点）长的最小值)(tL．直线PA与圆M相切，2|221|11kk，解得0k或4.3k直线PA的方程是1y或43110.xy........6分（2）设(2,)(24).PaatatPA与圆M相切于点A，.PAMA经过,,APM三点的圆的圆心D是线段MP的中点．(0,2),MD的坐标是(,1).2aa设222225524().()(1)1().24455aDOfafaaaaa当225t，即45t时，2min5()()1;2162ttfaft当22252tt，即24455t时，min24()();55faf当2225t，即245t时22min515()(2)(2)(2)138242216tttfaftt则22145816,4525244(),555124548128,45tttLttttt.