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专题八平面向量的基本定理(B卷)(测试时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【2018届河南省长葛一高高三上学期开学】如图,在ABC中,D为线段BC的中点,,,EFG依次为线段AD从上至下的3个四等分点,若4ABACAP,则()A.点P与图中的点D重合B.点P与图中的点E重合C.点P与图中的点F重合D.点P与图中的点G重合【答案】C2.已知向量)2,1(),3,2(ba,若bnam与ba2共线,则nm()A.21B.2C.-21D.2【答案】C【解析】231-2,所以a与b不共线,那么当bnam与ba2共线时,21nm,即得21nm,故选C.3.已知点,,则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析:,所以与同方向的意念向量为,故选A.4已知a=(-2,1),b=(x,21),且a//b,则x=()A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】因为a//b,直接由共线定理知,x)21(2,即1x,故应选A.5.已知向量)3,1(a,)4,1(xb,且)(ba∥b,则x()A.3B.31C.3D.31【答案】B【解析】1(,1),//(1)(4)03abxabbxxxrrrrrQ.6.已知向量p=(2,-3),q=(x,6),且p∥q,则|p+q|的值为()A.5B.13C.5D.13【答案】B【解析】由题意得2×6+3x=0⇒x=-4⇒|p+q|=|(2,-3)+(-4,6)|=|(-2,3)|=13.7.【2018届河北省石家庄二中高三八月模拟】已知点D是ABC所在平面内的一点,且2BDDC,设ADABAC,则()A.6B.6C.32D.3【答案】D【解析】由题意作图:C是线段BD的中点.222ADABBDBCABACABABACAB.又ADABAC,由平面向量基本定理可知:12,,∴3.故选:D.8.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若ACAMBD,则()A.43B.53C.158D.2【答案】B9.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若()akb∥c,则实数k的值为()A.2B.12C.114D.114【答案】B【解析】∵a=21(,),b=11(,),∴akb=2111()()(21)kkk,,=,,又c=51(,),且()akb∥c,∴12510kk()()(),解得:k=12.故选B.10.已知△ABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,则点D的坐标为()A.(-95,75)B.(92,-75)C.(95,75)D.(-92,-75)【答案】C11.【2018届江西省六校高三上学期第五次联考】在等腰直角ABC中,,ACBCD在AB边上且满足:1CDtCAtCB,若30ACD,则t的值为()A.312B.31C.332D.312【答案】C【解析】1CDtCAtCB,∴A,B,D三点共线,∴由题意建立如图所示坐标系,设AC=BC=1,则C(0,0),A(1,0),B(0,1),直线AB的方程为x+y=1,直线CD的方程为33yx,故联立解得,3331,22xy,故3331,22D,故3331,,1,0,0,122CDCACB,故1,1tCAtCBtt,故3331,,122tt,故332t.本题选择C选项.12.如图,在△ABC中,13ANNC,P是BN上的一点,若29APmABAC,则实数m的值为()A.1B.31C.19D.3【答案】C第II卷(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。)13.【2017届西藏自治区拉萨中学高三第八次月考】已知1,3a,2,bk,且2//3abab,则实数k__________.【答案】-6【解析】解析:因1,3,2,abk,故23,32abk,35,9abk,由题设可得39532kk,解之得6k,应填答案6.14.已知点1,2P,线段PQ的中点M的坐标为1,1.若向量PQ与向量,1a共线,则_____________.【答案】23【解析】由题设条件,得(3,4)Q,所以(4,6)PQ.因为向量PQ与向量,1a共线,所以416,所以23.15.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若cab(,R),则__________.【答案】4【解析】以向量,ab的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系可得116213abc(,),(,),(,)161113{32cabR=(,)(,)(,),=,解之得122且,因此,416.已知梯形中,是边上一点,且.当在边上运动时,的最大值是________________.【答案】【解析】设,则,故.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题10分)在直角坐标系xOy中,已知点(1,1),(2,3),(3,2)ABC,点(,)Pxy在ABC三边围成的区域(含边界)上,且(,)OPmABnACmnR.(1)若23mn,求||OP;(2)用,xy表示mn,并求mn的最大值.【答案】(1)22;(2)mnyx,1.【解析】(1)(1,1),(2,3),(3,2)ABC(1,2)AB,(2,1)ACOPmABnAC又23mn22(2,2)33OPABAC||=22OP(2)OPmABnAC(,)(2,2)xymnmn即22xmnymn两式相减得:mnyx令yxt,由图可知,当直线yxt过点(2,3)B时,t取得最大值1,故mn的最大值为1.xyCBA12345–1–2–3–4–5123–1–2–3O18.(本小题12分)已知向量13cos,sin02,,22ab,且a与b不共线.(1)设,,OAaOBbOCOAOB,证明:四边形OACB为菱形;(2)当两个向量4ab与4ab的模相等时,求角.【答案】(1)证明见解析;(2)6或76.试题解析:(1)证明:∵OCOAOB,∴四边形OACB为平行四边形,又1OAOB,∴四边形OACB为菱形.(2)解:由题意44abab,得2244abab.又由(1)知,220ab,∴0ab,∴13022cossin,得33tan.又02,∴6或76.19.(本小题12分)在平行四边形ABCD中,E,G分别是BC,DC上的点且BEBC3=,CGCD3=.DE与BG交于点O.(1)求DEOE:;(2)若平行四边形ABCD的面积为21,求BOC的面积.【答案】(1)71=DEOE;(2)23BOCS【解析】(1)设bAD,aAB==,据题意可得)(=∈RλDEλOEbaDE32-=,从而有bλaλbaλOE32-=)32-(=.由G,O,B三点共线,则存在实数m,使得EGmEBmEO)-1(+=,即)31-32)(1-(+31=])-1(+-[=abmbmEGmEBmOEbmam32-3+3-1=,由平面向量基本定理,1323233mm解得71=λ,从而就有71=DEOE;(2)由(1)可知71=ΔΔBDCBOChh,所以23221717171BDCBOCBDCBOCSSSS.20.(本小题12分)已经向量4,3AB,3,1AD,点A1,2.(1)求线BD的中点M的坐标;(2)若点P2,y满足PBBDR,求y和的值.【答案】(1)1,12M(2)17,37y【解析】(1)设点B的坐标为11,yx,∵4,3AB,A1,2,∴111,2yx=4,3.∴111423xy,解得1131xy,∴点3,1B,同理可得4,3D.设线段BD的中点为22,yx,234122x,21312y,∴1,12M(2)3,12,1,1PByy,4,33,17,4BD,∵,PBBD∴1,17,4y.即1714y,得1737y.21.(本小题12分)在平面直角坐标系中,给定ABC,点M为BC的中点,点N满足2ANNC,点P满足,APAMBPBN.(1)求与的值;(2)若ABC、、三点坐标分别为(2,2),(5,2),(3,0),求P点坐标.【答案】(1)4535;(2)P点的坐标为62(,)55.【解析】(1)设,BMaCNb则3,2AMACCMabBNab3APAMab,2BPBNab,故(2)(3)BABPAPab而23BABCCAab由平面向量基本定理得2233,解得453522.(本小题12分)设G为ABC的重心,过G作直线l分别交线段,ABAC(不与端点重合)于QP,.若,APABAQAC.(1)求11的值;(2)求ACAB,的取值范围.【答案】(1)113;(2)41,92.【解析】(1)连结AG并延长交BC于M,则M是BC的中点,设cACbAB,,则)(21)(21cbACABAM,)(3132cbAMAG①又,APABbAQACc,②bcuAPAQPQ,cbbcbAPAGPG31)31()(31QGP,,三点共线,故存在实数t,使PQtPG,11()33bctctb1313tt,消t得:13,即113或者另一种解法由②式得1,bAP1cAQ,③将③代入①得1133AGAPAQ.QGP,,三点共线,故11133,即113.
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