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2015-2016学年湖北省宜昌市高三（上）元月调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁UB）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}2．给出下列四个命题：①若集合A，B满足A∩B=A，则A⊆B；②给定命题p，q，若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；③设a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2；④若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x﹣y+1=0垂直，则a=1．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43．若a、b为两条异面直线，且分别在两个平面α、β内，若α∩β=l，则直线l（）A．与a、b都相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中的一条相交D．至多与a、b中的一条相交4．sin45°cos105°+sin45°sin15°=（）A．0B．C．D．15．现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共1升，最下面3节的容积共2升，第5节的容积是（）升．A．0.2B．0.5C．0.75D．1.56．已知定义在R上的函数f（x）=（）|x﹣m|（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.23），b=f（log56），c=f（m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π8．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞c）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，=||2，若椭圆的离心率等于，则直线OA的方程是（）A．y=B．y=xC．y=xD．y=x9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，f（）=﹣，f（）=0，f（）=0，则A=（）A．1B．xC．0D．10．实数x，y满足不等式组，且z=x+y的最大值为9，则m=（）A．﹣B．﹣C．D．11．各项为正数的数列{an}前n项和为Sn，且Sn+1=a2Sn+a1，n∈N*，当且仅当n=1和n=2时Sn＜3成立，那么a2的取值范围是（）A．[1，2）B．（1，2]C．[1，2]D．（1，2）12．在△ABC中，AD为BC边上的高，且AD=BC，b，c分别表示角B，C所对的边长，则的最大值是（）A．2B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置.）13．函数y=f（x）与函数y=g（x）互为反函数，且f（x）=2x，则函数y=g（x2﹣1）的定义域是．14．已知向量，满足||=2，||=1，与的夹角为，则与+2的夹角为．15．由曲线y=﹣x2+x+2与其在点A（2，0）和点B（﹣1，0）处的切线所围成图形的面积为．16．已知函数f（x）=，若对于正数kn（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣knx的零点个数恰好为2n+1个，则k+k+…+=．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．（12分）（2015秋宜昌月考）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=1，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）（2016怀化二模）在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1=a1=3，b4=a2，b13=a3．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）记cn=（﹣1）nbn+an，求数列{cn}的前n项和Sn．19．（12分）（2015秋宜昌月考）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，点O为BD的中点，E为PA的中点．（1）求证：PO⊥OA；（2）求证：OE∥平面PDC；（3）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．20．（12分）（2015秋宜昌月考）已知椭圆C两焦点坐标为（﹣1，0）和（1，0），点P（1，）在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若线段AB是椭圆C的一条动弦，且|AB|=2，求坐标原点O到直线AB距离的最大值．21．（12分）（2015长沙校级一模）已知函数f（x）=ln|x|﹣x2+ax，其中a∈R．（1）当a=1时，求函数的单调增区间．（2）l为f（x）在x=x0处的切线，且f（x）图象上的点都不在l的上方，求x0的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．《选修4-1：几何证明选讲》．（共1小题，满分10分）22．（10分）（2014新课标II）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）ADDE=2PB2．《选修4-4：坐标系与参数方程》23．（2015滑县校级模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为x（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．《选修4-5：不等式选讲》24．（2015贵州模拟）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省宜昌市高三（上）元月调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩（∁UB）=（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，可以求出集合CUB，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，∴CUB={1，3，4}∵A={3，1，2}∴A∩（CUB）={1，3}故选D．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．给出下列四个命题：①若集合A，B满足A∩B=A，则A⊆B；②给定命题p，q，若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；③设a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2；④若直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x﹣y+1=0垂直，则a=1．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①由集合交集和包含关系的定义可以判断；②考查复合命题真值表；③考查不等式性质，可取特值进行否定；④直接利用两直线垂直，斜率之积等于﹣1．【解答】解：①∵A∩B⊆B，而条件A∩B=A，故A⊆B正确；②若“p∨q”为真只要p和q中有一个为真即可，而“p∧q”为真需要p和q都真，故命题错误；③m=0时不成立，故结论错误；④两直线垂直，斜率之积等于﹣1，命题正确．故选B【点评】本题以命题为载体考查集合的关系、不等式性质、两直线垂直等知识点，考查面较广．3．若a、b为两条异面直线，且分别在两个平面α、β内，若α∩β=l，则直线l（）A．与a、b都相交B．与a、b都不相交C．至少与a、b中的一条相交D．至多与a、b中的一条相交【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：对于A，a∥l，b∩l=A，满足题意，故A不正确；对于B，l与a、b都不相交，则l与a、b都平行，所以a，b平行，与异面矛盾，故B不正确，C正确；对于D，l可以与a、b都相交，交点为不同点即可，故D不正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．sin45°cos105°+sin45°sin15°=（）A．0B．C．D．1【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：sin45°cos105°+sin45°sin15°=sin45°cos（90°+15°）+sin45°sin15°=﹣sin45°sin15°+sin45°sin15°=0，故选：A．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．5．现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面3节的容积共1升，最下面3节的容积共2升，第5节的容积是（）升．A．0.2B．0.5C．0.75D．1.5【分析】设自上而下各节的容积成等差数列{an}，由题意可得：a1+a2+a3=1，a7+a8+a9=2，相加利用等差数列的通项公式的性质即可得出．【解答】解：设自上而下各节的容积成等差数列{an}，由题意可得：a1+a2+a3=1，a7+a8+a9=2，相加可得：a1+a2+a3+a7+a8+a9=6a5=3，解得a5=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知定义在R上的函数f（x）=（）|x﹣m|（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.23），b=f（log56），c=f（m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a【分析】根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而得到f（x）=，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上，然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．∴=（）|x﹣m|，∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|．解得：m=0．∴f（x）=在[0，+∞）上单调递减，并且a=f（log0.23）=f（log53），b=f（log56），c=f（0）．∵0＜log53＜log56，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A．1000πB．200πC．πD．π【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为π=π．故选：D．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．8．已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞c）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，O为坐标原点，=||2，若椭圆的离心率等于，则直线OA的方程是（）A．y=B．y=xC．y=xD．y=x【分析】设F2（c，0），令x=c，代入椭圆方程求得y=±，运用向量的数量积的定义可得AF2⊥F1F2，可得A（c，），运用离心率公式和直线的斜率公式，计算即可得到所求直线方程．【解答】解：设F2（c，0），令x=c，代入椭圆方程可得y=±b=±，由=||2，即为||||cos∠AOF2=||2，则||cos∠AOF2=||，即有AF2⊥F1F2，可得A（c，），又e==，可得====，则直线OA的方程为y=x，即为y=x．故选：B．【点评】本题考查直线方程的求法，注意运用向量的数量积的定义和椭圆的离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，f（）=﹣，f（）=0，f（）=0，则A=（）A．1B．xC．0D．【分析】首先，根据图象得到函数周期，利用周期公式可求ω，由