湖北省鄂州二中2012届高三数学十一月阶段性检测题(理科)

湖北省鄂州二中2012届高三数学十一月份阶段性检测题(理科)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于(C)A．{x|x＜－2}B．{x|x＞3}C．{x|－1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2.已知a、,Rb那么“122ba”是“baab1”的（B）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．若关于x的不等式2log(17)xxa恒成立，则a的取值范围是（A）A．3aB．3aC．3aD．3a4．已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则am＋cn等于(C)A．4B．3C．2D．15．已知5,3,415,0,,baSbabCAaCBABCABC中，，则ba与的夹角为（D）A.65B.6C.6或65D.656．若x是三角形的最小内角，则函数sincossincosyxxxx的最大值是（D）A．1B．2C．122D．1227．已知函数)(xf是),(上的偶函数，若对于0x，都有)()2(xfxf，且当2,0x时，)2010()2009(),1(log)(2ffxxf则的值为（C）A．-2B．-1C．1D．28．已知向量a，b满足|a|=3|b|≠0，且关于x的函数f(x)=21x3+21|a|x2+a·bx在R上单调递增，则a，b的夹角的取值范围是（B）A．[0,2)B．[0,3]C．(3，2]D．(3，32]9、定义：在数列{an}中，若满足an＋2an＋1－an＋1an＝d(n∈N*，d为常数)，我们称{an}为“比等差数列”．已知在“比等差数列”{an}中，a1＝a2＝1，a3＝2，则a2009a2006的个位数字是(C)A．3B．4C．6D．810、某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（A）A、5km处B、4km处C、3km处D、2km处二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填在题中横线上)11、在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(3＋1)，那么△ABC的面积为__6＋23______12．读下面的流程图，若输入的值为－5时，输出的结果是_2_______.13．已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为121，则a的值为___－1_________．14．设函数()fxxxa，若对于任意21,xx21),,3[xx，不等式0)()(2121xxxfxf恒成立，则实数a的取值范围是3a．15.已知等差数列na中，若,mnaaab则有mnambnamn，则在等比数列nb中，若,mnbpbq会有类似的结论：1()mmnmnnpbq______.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．（本题满分12分）设函数()3fxxax,其中0a。（Ⅰ）当1a时，求不等式()32fxx的解集；（Ⅱ）若不等式()0fx的解集为|1xx，求a的值。16．（Ⅰ）当1a时，()32fxx可化为|1|2x。由此可得3x或1x。故不等式()32fxx的解集为{|3xx或1}x。（Ⅱ）由()0fx得：30xax此不等式化为不等式组：30xaxax或30xaaxx。即4xaax或2xaaa因为0a，所以不等式组的解集为|2axx，由题设可得2a=1，故2a。17．（本题满分12分12分）设a，b∈R+，a+b=1．（1）证明：ab+≥4+=4；（2）探索、猜想，将结果填在括号内；a2b2+≥（_________）；a3b3+≥（_________）；（3）由（1）（2）你能归纳出更一般的结论吗？请证明你得出的结论．17、解：（2）1116,641664nnabm1m1,1mmm证明：令由（）知，，令，由（）知当时，函数有最小值nnnnnnnnnnnnn(3)ababy=ab=m+ab11+441(0())411+(0())41()418．（本题满分12分）在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin2A－π4的值．18.解析：(1)在△ABC中，根据正弦定理，ABsinC＝BCsinA.于是AB＝sinCsinABC＝2BC＝25.(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝255.于是sinA＝1－cos2A＝55.从而sin2A＝2sinA·cosA＝45，cos2A＝cos2A－sin2A＝35.所以sin2A－π4＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝210.19.（本题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Snn)在直线y＝12x＋112上．数列{bn}满足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝3(2an－11)(2bn－1)，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞k57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．解：(1)由已知得Snn＝12n＋112，∴Sn＝12n2＋112n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n2＋112n－12(n－1)2－112(n－1)＝n＋5；当n＝1时，a1＝S1＝6也符合上式．∴an＝n＋5.由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差数列，由{bn}的前9项和为153，可得9(b1＋b9)2＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{bn}的公差d＝b5－b32＝3，b3＝b1＋2d，∴b1＝5，∴bn＝3n＋2.(2)cn＝3(2n－1)(6n＋3)＝12(12n－1－12n＋1)，∴Tn＝12(1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1)＝12(1－12n＋1)．∵n增大，Tn增大，∴{Tn}是递增数列．∴Tn≥T1＝13.Tn＞k57对一切n∈N*都成立，只要T1＝13＞k57，∴k＜19，则kmax＝18.20．（本题满分13分）为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－2m＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2010年的利润y＝x·－(8＋16x)－m＝－[16m＋1＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．(2)∵m≥0，∴16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤29－8＝21，当16m＋1＝m＋1，即m＝3，ymax＝21.∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．21．（本题满分14分）已知函数321(),24xfxxx且存在01(0,),2x使00().fxx（I）证明：()fx是R上的单调增函数；（II）设111110,(),,(),2nnnnxxfxyyfy其中1,2,...n证明：101;nnnnxxxyy（III）证明：111.2nnnnyxyx21、（I）∵22111()323()0,()236fxxxxfx是R上的单调增函数.（II）∵0102x,即101xxy.又()fx是增函数,∴101()()()fxfxfy.即202xxy.又2112111131()(0)0,()()4282xfxfxyfyfy,综上,12021xxxyy.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,上面已证明成立.(2)假设当n=k(k≥1)时有101kkkkxxxyy.当n=k+1时,由()fx是单调增函数,有101()()()()()kkkkfxfxfxfyfy,∴12021kkkkxxxyy由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有101nnnnxxxyy.（III）2211()()1()2nnnnnnnnnnnnnnyxfyfxyxyxyxyxyx21()()2nnnnyxyx211[()]24nnyx.由(Ⅱ)知1101,22nnnnyxyx∴21111()242nnnnyxyx