鄂州市第二中学2011-2012学年上学期高三期中考试高三数学试卷(文科）答案

鄂州市第二中学2011-2012学年上学期高三期中考试高三数学(文科）答案一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.A2.D3.C4.B5.B6.C7.D8.A9.D10.B二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11.-1或212．413.21014.(0，14]15.③④三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.解：(1)因为不等式ax2－3x＋20的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b1.由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a.解得a＝1，b＝2.所以a＝1，b＝2.……….6分(2)所以不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0，即x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.①当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；……….8分②当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；……….10分③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.……….……….11分综上所述：当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为∅.……….12分17.解：(1)∵cos2B＝725，且0Bπ，∴sinB＝1cos22B＝45，由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝2×454＝25.……….6分(2)∵S△ABC＝12acsinB＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，又cosB=35∴b＝a2＋c2－2accosB=17或41……….12分18.解：①由题意得an＝Sn－Sn－1＝4n－4(n≥2)而n＝1时a1＝S1＝0也符合上式∴an＝4n－4(n∈N＋)……….3分又∵bn＝Tn－Tn－1＝bn－1－bn，∴bnbn－1＝12∴{bn}是公比为12的等比数列，而b1＝T1＝3－b1，∴b1＝32，∴bn＝3212n－1＝3·12n(n∈N＋)．……….6分②Cn＝14an·13bn＝14(4n－4)×13×312n＝(n－1)12n，∴Rn＝C1＋C2＋C3＋…＋Cn＝122＋2·123＋3·124＋…＋(n－1)·12n∴12Rn＝123＋2·124＋…＋(n－2)12n＋(n－1)12n＋1∴12Rn＝122＋123＋…＋12n－(n－1)·12n＋1∴Rn＝1－(n＋1)12n.……….12分19.解:(1)当0x80(x∈N)时，L(x)＝500×1000x10000－13x2＋10x－250＝－13x2＋40x－250.当x≥80(x∈N)时，L(x)＝50×1000x10000－51x＋10000x－1450－250＝1200－x＋10000x，∴L(x)＝－13x2＋40x－2500x80，x∈N*1200－x＋10000xx≥80，x∈N*……………………….6分(2)当0x80，x∈N*时，L(x)＝－13(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，当x≥80，x∈N*时，∵L(x)＝120－x＋10000x≤1200－2x·10000x＝1200－200＝1000，∴当且仅当x＝10000x，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1000950.综上所述，当x＝100时L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．……………………….12分20.解：(1)证明：由Sn＋2－(t＋1)Sn＋1＋tSn＝0，得tSn＋1－tSn＝Sn＋2－Sn＋1，即an＋2＝tan＋1，而a1＝t，a2＝t2，∴数列{an}是以t为首项，t为公比的等比数列，∴an＝tn.……………………….4分(2)∵(tn＋t－n)－(2n＋2－n)＝(tn－2n)[1－(12t)n]，又12t2，∴1412t1，则tn－2n0且1－(12t)n0，∴(tn－2n)[1－(12t)n]0，∴tn＋t－n2n＋2－n.……….8分(3)证明：∵1bn＝12(tn＋t－n)，∴2(1b1＋1b2＋…＋1bn)(2＋22＋…2n)＋(2－1＋2－2＋…＋2－n)＝2(2n－1)＋1－2－n＝2n＋1－(1＋2－n)2n＋1－22－n，∴1b1＋1b2＋…＋1bn2n－2n……………………….13分21.[解析](1)由f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b，又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0，故b＝0，c＝1.……………………….………………………3分(2)f(x)＝13x3－a2x2＋1，f′(x)＝x2－ax，由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，而点(0,2)在切线上，所以2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得23t3－a2t2＋1＝0，即t满足的方程为23t3－a2t2＋1＝0，下面用反证法证明：假设f′(x1)＝f′(x2)，由于曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0,2)，则下列等式成立：23x31－a2x21＋1＝0①23x32－a2x22＋1＝0②x21－ax1＝x22－ax2③由③得x1＋x2＝a，由①－②得x21＋x1x2＋x22＝34a2④又x21＋x1·x2＋x22＝(x1＋x2)2－x1x2＝a2－x1(a－x2)＝x21－ax1＋a2＝(x1－a2)2＋34a2≥34a2故由④得，x1＝a2，此时x2＝a2与x1≠x2矛盾，所以f′(x1)≠f′(x2)．……………………….………………………8分(3)由(2)知，过点(0,2)可作y＝f(x)的三条切线，等价于方程2－f(t)＝f′(t)(0－t)有三个相异的实根，即等价于方程23t3－a2t2＋1＝0有三个相异的实根．设g(t)＝23t3－a2t2＋1，则g′(t)＝2t2－at＝2t(t－a2)由于a0，故有t(－∞，0)0(0，a2)a2(a2＋∞)g′(t)＋0－0＋g(t)极大值1极小值1－a324由g(t)的单调性可知：要使g(t)＝0有三个相异的实根，当且仅当1－a3240，即a233，∴a的取值范围是(233，＋∞)．……………………….………………………14分