1-2-2-2分段函数与映射

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1.2.2.2一、选择题1.集合A={a,b,c},B={d,e}则从A到B可以建立不同的映射个数为()A.5B.6C.8D.9[答案]C[解析]用树状图写出所有的映射为:a→db→dc→dc→eb→ec→dc→ea→eb→dc→dc→eb→ec→dc→e共8个.2.已知f(x)=x2+3(x>0),1(x=0),x+4(x<0).则f(f(f(-4)))=()A.-4B.4C.3D.-3[答案]B[解析]f(-4)=(-4)+4=0,∴f(f(-4))=f(0)=1,f(f(f(-4)))=f(1)=12+3=4.故选B.3.已知函数f(x)=-x2+2x+m的图象与x轴有交点,则实数m的范围是()A.m>-1B.m>1C.m≥-1D.m≥1[答案]C[解析]f(x)=-x2+2x+m的图象与x轴有交点,即方程-x2+2x+m=0有实根,∴Δ≥0即4+4m≥0,∴m≥-1,故选C.4.下列从P到Q的各对应关系f中,不是映射的是()A.P=N,Q=N*,f:x→|x-8|B.P={1,2,3,4,5,6},Q={-4,-3,0,5,12},f:x→x(x-4)C.P=N*,Q={-1,1},f:x→(-1)xD.P=Z,Q={有理数},f:x→x2[答案]A[解析]对于选项A,当x=8时,|x-8|=0∉N*,∴不是映射,故选A.5.给出下列四个命题:(1)若A={整数},B={正奇数},则一定不能建立从集合A到集合B的映射;(2)若A是无限集,B是有限集,则一定不能建立从集合A到集合B的映射;(3)若A={a},B={1,2},则从集合A到集合B只能建立一个映射;(4)若A={1,2},B={a},则从集合A到集合B只能建立一个映射.其中正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个[答案]B[解析]对于(1)f:A→B对应法则f:x→2|x|+1故(1)错;(2)f:R→{1},对应法则f:x→1,(2)错;(3)可以建立两个映射,(3)错;(4)正确,故选B.6.(广东梅县东山中学2009~2010高一期末)已知函数f(x)=2x∈[-1,1]xx∉[-1,1],若f[f(x)]=2,则x的取值范围是()A.∅B.[-1,1]C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.{2}∪[-1,1][答案]D[解析]首先当x=2时,f(2)=2,∴f[f(2)]=2,其次当x∈[-1,1]时,f(x)=2,∴f[f(x)]=2.7.已知函数f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(0)=0,则f(4)的值是()A.5B.-5C.12D.20[答案]C[解析]由f(1)=f(0)=0得到:1+p+q=0①,q=0②,由①和②联立解得p=-1,q=0.于是f(x)=x2-x,则f(4)=42-4=12.8.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图四个图形中较符合该学生走法的是()[答案]D[解析]t=0时,该学生到学校的距离为d0,排除A、C,随着跑步开始,此学生到学校距离迅速缩短,而转入步行后,此学生到学校距离继续缩短,但较跑步时缩的慢了,∴选D9.某产品的总成本y(万元)与产量x之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240).若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时的最低产量为()A.25台B.75台C.150台D.200台[答案]C[解析]由题意得:y≤25x得3000+20x-0.1x2≤25x∴x2+50x-30000≥0解得:x≥150或x≤-200又0<x<240,∴150≤x<240,最低产量为150台.10.定义域为R的函数f(x)满足f(x)+2f(-x)=2x+1,则f(x)=()A.-2x+1B.2x-13C.2x-1D.-2x+13[答案]D[解析]∵f(x)+2f(-x)=2x+1(x∈R)∴f(-x)+2f(x)=-2x+1,消去f(-x)得,f(x)=-2x+13.二、填空题11.(2010·陕西文,13)已知函数f(x)=3x+2,x1,x2+ax,x≥1,若f(f(0))=4a,则实数a=________.[答案]2[解析]由题意得,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,a=2.12.已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且φ(13)=16,φ(1)=8,则φ(x)的表达式为________.[答案]3x+5x[解析]设f(x)=kx(k≠0),g(x)=mx(m≠0)则φ(x)=kx+mx,由题设k3+3m=16k+m=8解之得:k=3m=5,∴φ(x)=3x+5x.三、解答题13.在国内投寄外埠平信,每封信不超过20克重付邮资80分,超过20克而不超过40克重付邮资160分.试写出x(0≤x≤40)克重的信应付的邮资y(分)与x(克)的函数关系,并求函数的定义域,然后作出函数的图象.[解析]y=0(x=0)80(0<x≤20),160(20<x≤40)定义域为[0,40],图象如下14.作出下列函数的图象.(1)f(x)=2x,x∈Z,且|x|≤2;[解析](1)这个函数的定义域是集合{-2,-1,0,1,2},对应法则是“乘以2”,故它的图象由5个孤立的点(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4)组成,函数图象如图(1)所示.(2)这个函数分为两部分,当x∈(0,+∞)时,f(x)=1,当x∈(-∞,0]时,f(x)=-1,函数图象如图(2)所示.15.(1)一次函数的图象如图(1),求其解析式.(2)设二次函数的图象如图(2)所示,求此函数的解析式.[解析](1)设y=kx+b(k≠0),由图知过(-1,0)和(0,2)点,∴-k+b=0b=2,∴k=2b=2,∴y=2x+2.(2)设y=ax2+bx+c(a≠0),由图知过A(-3,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点,∴9a-3b+c=0a+b+c=0c=-2,∴a=23b=43c=-2,∴y=23x2+43x-2.[点评]设y=ax2+bx+c,由图知y=0时,x=-3或1,即一元二次方程ax2+bx+c=0有两根-3和1,故可用根与系数关系求解,也可设ax2+bx+c=a(x+3)(x-1).由过(0,-2)求出a,进而求出b、c.16.设A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},f:(x,y)→(kx,y+b).是从集合A到集合B的映射,若B中元素(6,2)在映射f下对应A中元素(3,1),求k,b的值.[解析](3,1)对应元素为(3k,1+b),∴3k=6,b+1=2,解得k=2b=1.17.作出函数f(x)=|x-2|-|x+1|的图象,并由图象求函数f(x)的值域.[解析]f(x)=-3(x≥2)1-2x(-1<x<2)3(x≤-1)如图:由图象知函数f(x)值域为{y|-3≤y≤3}.

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