1.3.1.2一、选择题1.函数f(x)=2x+6x∈[1,2]x+7x∈[-1,1],则f(x)的最大值、最小值分别为()A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对[答案]A[解析]分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上最小值中的最小者.当1≤x≤2时,8≤2x+6≤10,当-1≤x≤1时,6≤x+7≤8.∴f(x)min=f(-1)=6,f(x)max=f(2)=10.故选A.2.函数y=x|x|的图象大致是()[答案]A[解析]y=x2x≥0-x2x0,故选A.3.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量x单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为()A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元[答案]C[解析]设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15,x为正整数),则在乙地销售(15-x)辆,∴公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.∴当x=9或10时,L最大为120万元.故选C.[点评]列函数关系式时,不要出现y=-x2+21x+2x的错误.4.已知f(x)在R上是增函数,对实数a、b若a+b>0,则有()A.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)C.f(a)-f(b)>f(-a)-f(-b)D.f(a)-f(b)<f(-a)+f(-b)[答案]A[解析]∵a+b>0∴a>-b且b>-a,又y=f(x)是增函数∴f(a)>f(-b)且f(b)>f(-a)故选A.5.(河南郑州市智林学校2009~2010高一期末)若f(x)=-x2+2ax与g(x)=ax+1在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1][答案]D[解析]∵f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在[1,2]上是减函数,∴a≤1,又∵g(x)=ax+1在[1,2]上是减函数,∴a0,∴0a≤1.6.函数y=3x+2x-2(x≠2)的值域是()A.[2,+∞)B.(-∞,2]C.{y|y∈R且y≠2}D.{y|y∈R且y≠3}[答案]D[解析]y=3x+2x-2=3(x-2)+8x-2=3+8x-2,由于8x-2≠0,∴y≠3,故选D.7.函数y=f(x)的图象关于原点对称且函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数,最小值为5,那么函数y=f(x)在区间[-7,-3]上()A.为增函数,且最小值为-5B.为增函数,且最大值为-5C.为减函数,且最小值为-5D.为减函数,且最大值为-5[答案]B[解析]由题意画出示意图,如下图,可以发现函数y=f(x)在区间[-7,-3]上仍是增函数,且最大值为-5.8.函数y=|x-3|-|x+1|有()A.最大值4,最小值0B.最大值0,最小值-4C.最大值4,最小值-4D.最大值、最小值都不存在[答案]C[解析]y=|x-3|-|x+1|=-4(x≥3)2-2x(-1<x<3)4(x≤-1),因此y∈[-4,4],故选C.9.已知函数f(x)=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1,则()A.f(-1)f(1)f(2)B.f(1)f(2)f(-1)C.f(2)f(-1)f(1)D.f(1)f(-1)f(2)[答案]B[解析]因为二次函数图象的对称轴为直线x=1,所以f(-1)=f(3).又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线,知f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,故f(1)f(2)f(3)=f(-1).故选B.10.(08·重庆理)已知函数y=1-x+x+3的最大值为M,最小值为m,则mM的值为()A.14B.12C.22D.32[答案]C[解析]∵y≥0,∴y=1-x+x+3=4+2(x+3)(1-x)(-3≤x≤1),∴当x=-3或1时,ymin=2,当x=-1时,ymax=22,即m=2,M=22,∴mM=22.二、填空题11.函数y=-x2-10x+11在区间[-1,2]上的最小值是________.[答案]-13[解析]函数y=-x2-10x+11=-(x+5)2+36在[-1,2]上为减函数,当x=2时,ymin=-13.12.已知函数f(x)在R上单调递增,经过A(0,-1)和B(3,1)两点,那么使不等式|f(x+1)|1成立的x的集合为________.[答案]{x|-1x2}[解析]由|f(x+1)|1得-1f(x+1)1,即f(0)f(x+1)f(3),∵f(x)在R上是增函数,∴0x+13∴-1x2∴使不等式成立的x的集合为{x|-1x2}.13.如果函数f(x)=-x2+2x的定义域为[m,n],值域为[-3,1],则|m-n|的最小值为________.[答案]2[解析]∵f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,当m≤x≤n时,-3≤y≤1,∴1∈[m,n],又令-x2+2x=-3得,x=-1或x=3,∴-1∈[m,n]或3∈[m,n],要使|m-n|最小,应取[m,n]为[-1,1]或[1,3],此时|m-n|=2.三、解答题14.求函数f(x)=-x2+|x|的单调区间.并求函数y=f(x)在[-1,2]上的最大、小值.[解析]由于函数解析式含有绝对值符号,因此先去掉绝对值符号化为分段函数,然后作出其图象,由图象便可以直观地判断出其单调区间.再据图象求出最值.①∵f(x)=-x2+|x|=-x2+x(x≥0)-x2-x(x<0)即f(x)=-(x-12)2+14(x≥0)-(x+12)2+14(x<0)作出其在[-1,2]上的图象如右图所示由图象可知,f(x)的递增区间为(-∞,-12)和[0,12],递减区间为[-12,0]和[12,+∞).②由图象知:当x=-12或12时,f(x)max=14,当x=2时,f(x)min=-2.15.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=400x-12x2(0≤x≤400),80000(x>400),其中x是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)[解析](1)设月产量为x台,则总成本为u(x)=20000+100x,从而f(x)=R(x)-u(x),即f(x)=-12x2+300x-20000(0≤x≤400),60000-100x(x>400).(2)当0≤x≤400时,f(x)=-12(x-300)2+25000,∴当x=300时,有最大值25000;当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,f(x)<60000-100×400=20000.∴当x=300时,f(x)的最大值为25000.答:每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25000元.16.已知函数f(x)=x2+2x+3x(x∈[2,+∞)),(1)证明函数f(x)为增函数.(2)求f(x)的最小值.[解析]将函数式化为:f(x)=x+3x+2①任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2,f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-3x1x2).∵x1<x2,∴x1-x2<0,又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4,1-3x1x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0,即:f(x1)<f(x2).故f(x)在[2,+∞)上是增函数.②当x=2时,f(x)有最小值112.