3-1-2用二分法求方程的近似解

3.1.2一、选择题1．若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1＋x2＋x3的值为()A．－1B．0C．3D．不确定[答案]B[解析]因为f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，它有三个零点，即f(x)的图象与x轴有三个交点，故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数．∴x1＋x2＋x3＝0.2．已知f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且f(a)·f(b)0，则f(x)＝0在[a，b]内()A．至少有一实数根B．至多有一实数根C．没有实数根D．有惟一实数根[答案]D[解析]∵f(x)为单调减函数，x∈[a，b]且f(a)·f(b)0，∴f(x)在[a，b]内有惟一实根x＝0.3．(09·天津理)设函数f(x)＝13x－lnx(x＞0)则y＝f(x)()A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点B．在区间1e，1，(1，e)内均无零点C．在区间1e，1内有零点；在区间(1，e)内无零点D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点[答案]D[解析]∵f(x)＝13x－lnx(x＞0)，∴f(e)＝13e－1＜0，f(1)＝13＞0，f(1e)＝13e＋1＞0，∴f(x)在(1，e)内有零点，在(1e，1)内无零点．故选D.4．(2010·天津文，4)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)[答案]C[解析]∵f(0)＝－10，f(1)＝e－10，即f(0)f(1)0，∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内．5．若方程x2－3x＋mx＋m＝0的两根均在(0，＋∞)内，则m的取值范围是()A．m≤1B．0m≤1C．m1D．0m1[答案]B[解析]设方程x2＋(m－3)x＋m＝0的两根为x1，x2，则有Δ＝(m－3)2－4m≥0，且x1＋x2＝3－m0，x1·x2＝m0，解得0m≤1.6．函数f(x)＝(x－1)ln(x－2)x－3的零点有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]A[解析]令f(x)＝0得，(x－1)ln(x－2)x－3＝0，∴x－1＝0或ln(x－2)＝0，∴x＝1或x＝3，∵x＝1时，ln(x－2)无意义，x＝3时，分母为零，∴1和3都不是f(x)的零点，∴f(x)无零点，故选A.7．函数y＝3x－1x2的一个零点是()A．－1B．1C．(－1,0)D．(1,0)[答案]B[点评]要准确掌握概念，“零点”是一个数，不是一个点．8．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为()A．至多有一个B．有一个或两个C．有且仅有一个D．一个也没有[答案]C[解析]若a＝0，则b≠0，此时f(x)＝bx＋c为单调函数，∵f(1)0，f(2)0，∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点；若a≠0，则f(x)为开口向上或向下的抛物线，若在(1,2)上有两个零点或无零点，则必有f(1)·f(2)0，∵f(1)0，f(2)0，∴在(1,2)上有且仅有一个零点，故选C.9．(哈师大附中2009～2010高一期末)函数f(x)＝2x－log12x的零点所在的区间为()A.0，14B.14，12C.12，1D．(1,2)[答案]B[解析]∵f14＝214－log1214＝42－20，f12＝2－10，f(x)在x0时连续，∴选B.10．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为()x－10123ex0.3712.727.3920.09A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)[答案]C[解析]令f(x)＝ex－x－2，则f(1)·f(2)＝(e－3)(e2－4)0，故选C.二、填空题11．方程2x＝x3精确到0.1的一个近似解是________．[答案]1.412．方程ex－x－2＝0在实数范围内的解有________个．[答案]2三、解答题13．借助计算器或计算机，用二分法求方程2x－x2＝0在区间(－1,0)内的实数解(精确到0.01)．[解析]令f(x)＝2x－x2，∵f(－1)＝2－1－(－1)2＝－120，f(0)＝10，说明方程f(x)＝0在区间(－1,0)内有一个零点．取区间(－1,0)的中点x1＝－0.5，用计算器可算得f(－0.5)≈0.460.因为f(－1)·f(－0.5)0，所以x0∈(－1，－0.5)．再取(－1，－0.5)的中点x2＝－0.75，用计算器可算得f(－0.75)≈－0.030.因为f(－1)·f(－0.75)0，所以x0∈(－1，－0.75)．同理，可得x0∈(－0.875，－0.75)，x0∈(－0.8125，－0.75)，x0∈(－0.78125，－0.75)，x0∈(－0.78125，－0.765625)，x0∈(－0.7734375，－0.765625)．由于|(－0.765625)－(0.7734375)|0.01，此时区间(－0.7734375，－0.765625)的两个端点精确到0.01的近似值都是－0.77，所以方程2x－x2＝0精确到0.01的近似解约为－0.77.14．证明方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2.[解析]令f(x)＝(x－2)(x－5)－1∵f(2)＝f(5)＝－1＜0，且f(0)＝9＞0.f(6)＝3＞0.∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点，又f(x)为二次函数，故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.15．求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的简图．[解析]因为x3－2x2－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以函数的零点为－1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1]，[－1,1]，[1,2]，[2，＋∞]．在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值(取精确到0.01的近似值)表：x…－1.5－1－0.500.511.522.5…y…－4.3801.8821.130－0.6302.63…在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示．16．借助计算器或计算机用二分法求方程(x＋1)(x－2)(x－3)＝1在区间(－1,0)内的近似解．(精确到0.1)[解析]原方程为x3－4x2＋x＋5＝0，令f(x)＝x3－4x2＋x＋5.∵f(－1)＝－1，f(0)＝5，f(－1)·f(0)＜0，∴函数f(x)在(－1,0)内有零点x0.取(－1,0)作为计算的初始区间用二分法逐步计算，列表如下端点或中点横坐标端点或中点的函数值定区间a0＝－1，b0＝0f(－1)＝－1，f(0)＝5[－1,0]x0＝－1＋02＝－0.5f(x0)＝3.375＞0[－1，－0.5]x1＝－1＋(－0.5)2＝－0.75f(x1)≈1.578＞0[－1，－0.75]x2＝－1＋(－0.75)2＝－0.875f(x2)≈0.393＞0[－1，－0.875]x3＝－1－0.8752＝－0.9375f(x3)≈－0.277＜0[－0.9375，－0.875]∵|－0.875－(－0.9375)|＝0.0625＜0.1，∴原方程在(－1,0)内精确到0.1的近似解为－0.9.17．若函数f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，求a的取值范围．[解析]∵f(x)＝log3(ax2－x＋a)有零点，∴log3(ax2－x＋a)＝0有解．∴ax2－x＋a＝1有解．当a＝0时，x＝－1.当a≠0时，若ax2－x＋a－1＝0有解，则Δ＝1－4a(a－1)≥0，即4a2－4a－1≤0，解得1－22≤a≤1＋22且a≠0.综上所述，1－22≤a≤1＋22.18．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．[解析]设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－10，f(1.5)＝0.8750，且函数f(x)＝x3－x－1的图象是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＝－0.300.因为f(1.25)·f(1.5)0，所以x0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.220.因为f(1.25)·f(1.375)0，所以x0∈(1.25，1.375)．同理，可得x0∈(1.3125,1.375)，x0∈(1.3125，1.34375)．由于|1.34375－1.3125|0.1，此时区间(1.3125，1.34375)的两个端点精确到0.1的近似值是1.3，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]精确到0.1的近似解约为1.3.