2009-2010年高三数学第一次月考理科试题

第1页2009-2010年鮀浦中学高三理科数学第一次月考试题本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，共4页.满分150分，考试时间120分钟.2009.10参考公式：柱体体积公式：V=Sh，其中S为底面面积，h为高；锥体体积公式：V=31Sh，其中S为底面面积，h为高；第I卷（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数21izi，则z的共轭复数是（）A.i1B.i1C.iD.i2.已知随机变量2(0,)N～2(0,)N，若(20)0.2P，则(2)P等于（）A.0.1B.0.2C.0.3Ｄ.0.43.已知两个向量a、b满足ab=－122，|a|=4，a和b的夹角为135°，则|b|为（）A.12B.3C.6D.334.若6260126(1)mxaaxaxax，且12663aaa,则实数m的值为（）Ａ.1或3Ｂ.-3C.1Ｄ.1或-35．实数x、y满足1,0,0,xyxy则z=xy1的取值范围是（）A.[－1,0]B.(－∞,0]C.[－1,+∞)D.[－1,1)6.已知函数)0()6sin(2)(xxf的最小正周期为4，则该函数的图像（）A、关于点,03对称B、关于点5,03对称C、关于直线3x对称D、关于直线53x对称7.过抛物线xy42的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，第2页ODCBA图2则||AB等于（）A．10B．8C．6D．48.设函数244,1,()43,1,xxfxxxx则函数4()()loggxfxx的零点个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分，(一)必做题（9～12题）9.某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人.为了调查他们的身体情况，用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有3名老年人，那么n=_________.10．若直线x＋(1＋m)y＋2＋m＝0与直线2mx＋4y＋6＝0平行，则m的值为.11．已知032:;4:xxxqaxxAp，且q是p的充分条件，则a的取值范围为___________________12.有一个四棱锥，顶点到底面的高是6，用斜二测画法得底面直观图是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是60，则这个棱锥的体积是_____________(二)选做题（13～15题，考生只能从中选做两题）⒔（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程是4sin．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是22(242xttyt为参数），点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，|PQ|的最小值是______________．⒕（不等式选讲选做题）已知实数xyz、、满足22249(0),xyzaa且xyz的最大值是7，则a=______________．⒖（几何证明选讲选选做题）如图2，AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点，ABC的平分线与⊙O相交于D．已知1BC，3AB，则AD．第3页三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）在△ABC中，a、bc、为角ABC、、所对的三边．已知222bcabc(1)求角A的值；(2)若3a，设内角B为x，周长为y，求()yfx的最大值．⒘（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：⑴求a,b的值；⑵若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立．①5天中该种商品恰好有2天的销售量为5.1吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；(Ⅱ)求二面角A－DF－B的大小.(Ⅲ)试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？日销售量15.12频数102515频率2.0abMCDABEF第4页19．（本小题满分14分）已知数列na的前n项和为23(R,N)nnSkkn且41a（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设数列nb满足4(5)nnabnak，nT为数列nb的前n项和，试比较316nT与14(1)nnb的大小，并证明你的结论．20.（本小题满分14分）如图，已知椭圆C:22221(0)xyabab的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为1A.（i）求证：直线1AB过x轴上一定点，并求出此定点坐标；（ii）求△1OAB面积的取值范围.21（本小题满分14分）已知函数)1ln(2)(2xaxxxf，a是常数．⑴证明曲线)(xfy在点))2(,2(f的切线经过y轴上一个定点；⑵若2/)3()(xaxf对)3,2(x恒成立，求a的取值范围；（参考公式：)243)(1(223223xxxxxx）⑶讨论函数)(xf的单调区间．ABOxyQ第5页2009-2010年鮀浦中学高三理科数学第一次月考试题一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1.A2.C3.C4.D5.D6.B7.B8.B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分9.18⒑－211.[－1,6]12.3613.32214.36152三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.解：(1)由222bcabc得2221cos22bcaAbc，又0A，故3A。5分(2)在△ABC中根据正弦定理得：,sinsinbaxA3sinsin2sin,sin32abxxxA（203x）同理32sinsin2sin(),sin332acCCxA（203x）y=()fx=a+b+c=2sinx+22sin()3x+3=23sin()36xmax20,35,666333xxxy因此时，max20,35,666333xxxy因此时，max20,35,666333xxxy因此时，17.⑴a=0.5,b=0.3……2分⑵①依题意，随机选取一天，销售量为5.1吨的概率5.0p……3分设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～)5.0,5(B……4分3225)5.01(5.0)2(CXP3125.0……6分②的可能取值为4，5，6，7，8……7分第6页04.02.0)4(2P，2.05.02.02)5(P37.03.02.025.0)6(2P3.03.05.02)7(P09.03.0)8(2P……12分（每个1分）的分布列为45678P0.040.20.370.30.09……13分的数学期望为2.609.083.0737.062.0504.04E（千元）14分18.解:法一：(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE.∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，,AAFAD∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。在RtΔASB中，,2,36ABAS∴,60,3tanASBASB∴二面角A—DF—B的大小为60º.（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AAFAB，∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，∴PQ⊥QF.在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴).2(22tPQ又∵ΔPAF为直角三角形，∴1)2(2tPF，∴).2(2221)2(2tt所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点.法二：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。设NBDAC，连接NE，则点N、E的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴NE=()1,22,22,第7页又点A、M的坐标分别是（022，，）、（)1,22,22，∴AM=（)1,22,22∴NE=AM且NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF,AAD∴AB⊥平面ADF.∴(2,0,0)AB为平面DAF的法向量。∵NEDB=（)1,22,22·)0,2,2(=0，∴NE·NF=（)1,22,22·)0,2,2(=0得NEDB,NENF∴NE为平面BDF的法向量。∴cosAB,NE=21，∴AB与NE的夹角是60º.即所求二面角A—DF—B的大小是60º.（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得(2,2,1)PFtt，∴DA（0，2，0，），又∵PF和AD所成的角是60º.∴21)2()2(2)2(60cos22ttt，解得22t或223t（舍去），即点P是AC的中点.19【解析】：（Ⅰ）∵1164aSk2k，………………………1分由23(R,N)nnSkkn得:当2n时，1143nnnnaSS……………………3分∴143(N)nnan……4分第8页（Ⅱ）由4(5)nnabnak和143nna得1143nnnb……………………6分12312212321221(1)43434343123213(2)443434343nnnnnnnnnnTbbbbbnnT2321111111(2)(1):244343434343nnnnnT232111111113218838383838316163nnnnnnnT……11分11(1)21(1)3(21)4(1)(316)333nnnnnnnnnnnnbT2(1)3(21)53nnnnn………………………12分当5372n或53702n时有(1)3(21)nnn，所以当5n(N)n时有13164(1)nnTnb那么同理可得：当53753722n时有(1)3(21)nnn，所以当15n(N)n时有13164(1)nnTnb………………………14分20.解：（1）因为椭圆C的一个焦点是（1，0），所以半焦距c=1.因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以12ca，解得2,3.ab所以椭圆的标准方程为22143xy.…（4分）（2）（i）设直线l：4xmy与22143xy联立并消去x得：22(34)24360mymy.记11,Axy（），22,Bxy（），1222434myym，A1