2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）

2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第1页共16页绝密★启用前试卷类型：A2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）2009.3本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的答案无效。5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。参考公式：如果事件AB、互斥，那么()()()PABPAPB；如果事件AB、相互独立，那么()()()PABPAPB；椭圆)0(12222babyax的准线方程为cax2，其中222cab；若球的半径为R，则球的表面积为24RS，体积为334RV．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数)()2(Raiai的实部与虚部互为相反数，则a的值等于A．1B．1C．2D．22009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第2页共16页2．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A．32B．16C．12D．83．若函数)(log)(bxxfa的图象如右图，其中ba,为常数．则函数baxgx)(的大致图象是A．B．C．D．4．设平面区域D是由双曲线1422xy的两条渐近线和椭圆1222yx的右准线所围成三角形的边界及内部．若点Dyx),(，则目标函数yxz的最大值为A．1B．2C．3D．65．定义行列式运算：,32414321aaaaaaaa将函数3cos()1sinxfxx的图象向左平移m个单位(0)m，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是A．32B．3C．8D．656．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b，则方程2bxax有实根的概率为A．12B．13C．16D．321111yox1111yox1111yox1111yox1111yox24侧（左）视图正（主）视图俯视图42009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第3页共16页7．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么zyx的值为A．1B．2C．3D．48．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有A．108种B．60种C．48种D．36种二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12题为必做题，每道试题考生都必须做答9．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则n．10．已知n为正偶数，且nxx)21(2的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是．（用数字作答）11．已知命题:pRx，022aaxx．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．12．已知AD是ABC的中线，),(RACABAD，那么；若120A，2ABAC，则AD的最小值是．2412xyz1234567892009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第4页共16页（二）选做题：第13、14、15题为选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分．13．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为],0[sin,cosyx，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C在极坐标系中的方程为cossinb．若曲线1C与2C有两个不同的交点，则实数b的取值范围是．14．（几何证明选讲选做题）如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，2CD，3AD，6BD，则PB．15．（不等式选讲选做题）若不等式zyxa221，对满足1222zyx的一切实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数xxxxxfcossin2)cos(sin3)(22．（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x，求()fx的值域和单调递增区间．OPTACDB2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第5页共16页17．（本小题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，EFAB//，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知2AB，1EF．（Ⅰ）求证：平面DAF平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（Ⅲ）当AD的长为何值时，二面角BFED的大小为60？18．（本小题满分14分）甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p)21(p，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95．（Ⅰ）若右图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分数S、T的程序框图．其中如果甲获胜，输入1a，0b；如果乙获胜，则输入1,0ba．请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件？（Ⅱ）求p的值；（Ⅲ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E．注：“0n”，即为“0n”或为“0:n”．输入ba,开始bTTaSS,0,0,0TSn结束输出TSn,,YTSM1nn?YNN?FABCDEO.2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第6页共16页19．（本题满分14分）已知函数2)21ln()(xxaxf（0a，]1,0(x）．（Ⅰ）求函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式)21ln(122nnn对一切正整数n恒成立，求实数的取值范围．20．（本题满分14分）在四边形ABCD中，已知(0,0),(0,4)AD，点B在x轴上，//BCAD，且对角线ACBD．（Ⅰ)求点C的轨迹方程；（Ⅱ)若点P是直线52xy上任意一点，过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF，E、F为切点，M为EF的中点．求证：PMx轴；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数211()24fxxx，()fx为函数()fx的导函数．（Ⅰ）若数列{}na满足：11a，1()()nnafafn（nN），求数列{}na的通项na；（Ⅱ）若数列{}nb满足：1bb，12()nnbfb（nN）．（ⅰ）当12b时，数列{}nb是否为等差数列？若是，请求出数列{}nb的通项nb；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b时，求证：11221niibb．2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第7页共16页2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．12345678DCDCABBA二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．9．20n．10．25．11．10a．12．1；1．13．21b．14．15．15．24aa或．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数xxxxxfcossin2)cos(sin3)(22．学科网（Ⅰ）求()fx的最小正周期；（Ⅱ）设[,]33x，求()fx的值域和单调递增区间．学科网【解】（Ⅰ）∵学科网xxxxxfcossin2)sin(cos3)(22xx2sin2cos3)32sin(2x.……………………3分)(xf的最小正周期为．…………………5分（Ⅱ）∵[,]33x，233x，1)32sin(23x．2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第8页共16页)(xf的值域为]3,2[．………………10分当)32sin(xy递减时，()fx递增．322x，即312x．故()fx的递增区间为3,12．……………………12分17．（本小题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，EFAB//，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直．已知2AB,1EF．（Ⅰ）求证：平面DAF平面CBF；（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；(Ⅲ)当AD的长为何值时，二面角BFED的大小为60？【解】（Ⅰ）证明：平面ABCD平面ABEF,ABCB,平面ABCD平面ABEF=AB，CB平面ABEF．AF平面ABEF，CBAF，又AB为圆O的直径，BFAF，AF平面CBF．AF平面ADF，平面DAF平面CBF．…………4分（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有AF平面CBF，FB为AB在平面CBF上的射影，因此，ABF为直线AB与平面CBF所成的角．………………………5分EFAB//，四边形ABEF为等腰梯形，过点F作ABFH，交AB于H．2AB,1EF，则212EFABAH．在AFBRt中，根据射影定理ABAHAF2，得1AF．…………7分21sinABAFABF，30ABF．直线AB与平面CBF所成角的大小为30．…………8分(Ⅲ)设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴FABCDO.HME2009年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试卷第9页共16页方向建立空间直角坐标系（如图）设tAD)0(t，则点D的坐标为),0,1(t设平面DEF的法向量为),,(1zyxn，则01DFn,01DEn．即.023,0232321tzyxtzyx令3z，解得tyx2,0)3,2,0(1tn………………10分取平面BEF的一个法向量为)1,0,0(2n，依题意1n与2n的夹角为602