2010广东省广州市荔湾区高三数学摸底考试（理科）

2010广东省广州市荔湾区高三数学摸底考试（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在别发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。参考公式：球的表面积公式24RS，其中R表示球的半径球的体积公式334RV球，其中R表示球的半径第一部分（选择题，共50分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．命题：“若0),,(,022baRbaba则”的逆否命题是（）A．若0),,(022baRbaba则B．若0),,(022baRbaba则C．若0),,(0022baRbaba则且D．若0),,(0022baRbaba则或2．已知niminmniim则是虚数单位是实数其中,,,,11的虚部为（）A．1B．2C．iD．2i3．与函数)12lg(1.0xy的图象相同的函数是（）A．)21(12xxyB．121xyC．)21(121xxyD．|121|xy4．下列函数中既是区间又是以上的增函数,)2,0(为周期的偶函数是（）A．Rxxy,2B．Rxxy|,sin|C．Rxxy,2cosD．Rxeyx,2sin5．正四棱锥底面边长为2，高为1，则此正四棱锥的侧面积等于（）A．2B．22C．23D．246甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A）6种（B）12种（C）24种（D）30种7已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交A、B两点，F为C的焦点。若FBFA2,则k=(A)31(B)32(C)32(D)3228纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是（A）南（B）北（C）西（D）下w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第二部分非选择题(共100分)二.填空题：（每小题5分,共20分.）11.不等式lg(1)0x的解集是_____________.12.运行右边算法流程，当输入x的值为_____时，输出y的值为4。13.下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸，它的体积为.△上东左视图俯视图主视图224242PTCDBAO选做题：在下面两道小题中选做一题，两题都选只计算前一题的得分.14.在直角坐标系xoy中，已知曲线C的参数方程是sin1cosyx（是参数），若以o为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________________.15.已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、、的值。【解析】（I）∵AB、为锐角，510sin,sin510AB否否3yx开始输入x1x1x是2yx1yx是输出y结束∴2225310cos1sin,cos1sin510AABB253105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB∵0AB∴4AB…………………………………………6分（II）由（I）知34C，∴2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2,5abcb又∵21ab∴221bb∴1b∴2,5ac…………………………………………12分17.（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（I）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；（II）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.【解析】I）由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则116302362()7CCPAC所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27.…………………………………6分（II）设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为：事件B1为“采访该团2人,持金卡0人，持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人，持银卡1人”两种情况，则11296211222363644()()()105CCCPBPBPBCC所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.……………………12分18.（本小题满分13分）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180:之间。因此乙班平均身高高于甲班;(2)15816216316816817017117917918217010x甲班的样本方差为222221[(158170)1621701631701681701681701022222170170171170179170179170182170]＝57（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178,176)（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；42105PA；19．（本小题满分13分）已知函数32()fxxbxcx的导函数的图象关于直线x=2对称.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若()fx在xt处取得最小值，记此极小值为()gt，求()gt的定义域和值域。解:（Ⅰ）2()32fxxbxc.因为函数()fx的图象关于直线x=2对称，所以226b，于是6.b（Ⅱ）由（Ⅰ）知，32()6fxxxcx，22()3123(2)12fxxxcxc.（ⅰ）当c12时，()0fx，此时()fx无极值。（ii）当c12时，()0fx有两个互异实根1x,2x.不妨设1x＜2x，则1x＜2＜2x.当x＜1x时，()0fx，()fx在区间1(,)x内为增函数；当1x＜x＜2x时，()0fx，()fx在区间12(,)xx内为减函数;当2xx时，()0fx，()fx在区间2(,)x内为增函数.所以()fx在1xx处取极大值，在2xx处取极小值.因此，当且仅当12c时，函数()fx在2xx处存在唯一极小值，所以22tx.于是()gt的定义域为(2,).由2()3120ftttc得2312ctt.于是3232()()626,(2,)gtftttctttt.当2t时，2()6126(2)0,gttttt所以函数()gt在区间(2,)内是减函数，故()gt的值域为(,8).20．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。解:（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为22221(0),xyabab焦距为2c，由题设条件知，28,,abc所以2214.2ba故椭圆C的方程为22184xy.（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为4,x所以点P的坐标(4,0)，显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为(4)ykx。如图，设点M，N的坐标分别为1122(,),(,),xyxy线段MN的中点为G00(,)xy，由22(4),184ykxxy得2222(12)163280kxkxk.……①由2222(16)4(12)(328)0kkk解得2222k.……②因为12,xx是方程①的两根，所以21221612kxxk，于是1202xxx=22812kk，0024(4)12kykxk.因为2028012kxk，所以点G不可能在y轴的右边，又直线12FB,11FB方程分别为2,2,yxyx所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为00002,2.yxyx即222222482,1212482,1212kkkkkkkk亦即222210,2210.kkkk解得313122k，此时②也成立.故直线l斜率的取值范围是3131[,].2221．（本小题满分13分）对于数列{}nu,若存在常数M＞0,对任意的*nN，恒有1121nnnnuuuuuuM,则称数列{}nu为B数列.（Ⅰ）首项为1，公比为12的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（Ⅱ）设nS是数列{}nx的前n项和.给出下列两组判断：A组：①数列{}nx是B-数列,②数列{}nx不是B-数列;B组：③数列{}nS是B-数列,④数列{}nS不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；(Ⅲ)若数列{}na是B-数列，证明：数列2{}na也是B-数列。解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为{}na,则11()2nna.于是12211131()()(),2.2222nnnnnaan1121||||||nnnnaaaaaa=2n311112222-1（）（）=n1313.2（）所以首项为1，公比为12的等比数列是B-数列.（Ⅱ）命题1：若数列{}nx是B-数列，则数列{}nS是B-数列.此命题为假命题.事实上设nx=1，*nN，易知数列{}nx是B-数列，但nS=n，1121||||||nnnnSSSSSSn.由n的任意性知，数列{}nS不是B-数列。命题2：若数列{}nS是B-数列，则数列{}nx不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列{}nS是B-数列，所以存在正数M，对任意的*nN，有1121|||