2010届南京市江东中学高三数学数列检测卷

2010届南京市江东中学高三数学《数列》检测卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是.答案152.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5,则S8=.答案723.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则12aa=.答案34.已知数列{an}中，an=n(2n-1)，其前n项和为Sn,则Sn+21n(n+1)=.答案(n-1)·2n+1+25.已知数列{an}的通项公式是an=nn212，其前n项和Sn=64321，则项数n=.答案66.等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“对任意n(n∈N*)，都有an+1＞an”的条件.答案既不充分也不必要7.在等比数列{an}中，a1=3,前n项和为Sn，若数列{an+1}也是等比数列，则Sn=.答案3n8.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an=.答案2n-19.等比数列{an}中，a20+a21=10,a22+a23=20,则a24+a25=.答案4010.（2009·东海高级中学高三调研）等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1=-2008，00720072S-00520052S=2，则S0082的值为.答案-200811.把49个数排成如图所示的数表,若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列,每列的7个数自上而下依次也都成等差数列,且正中间的数a44=1,则表中所有数的和为.a11a12a17a21a22a27a71A72a77答案4912.（2008·四川理，16）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为.答案413.将数列{3n-1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是.答案3495014.若表示一种运算，且有如下表示：11=2、mn=k、(m+1)n=k-1、m(n+1)=k+2,则20072007=.答案2008二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.（14分）数列{an}是首项a1=4的等比数列，且S3，S2，S4成等差数列.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2|an|,Tn为数列11nnbb的前n项和，求Tn.解（1）当q=1时，S3=12，S2=8，S4=16，不成等差数列.q≠1时，qqa1)1(22=qqa1)1(31+qqa1)1(41得2q2=q3+q4,∴q2+q-2=0,∴q=-2.∴an=4(-2)n-1=(-2)n+1.(2)bn=log2|an|=log2|(-2)n+1|=n+1.11nnbb=)2)(1(1nn=11n-21n∴Tn=3121+4131+…+2111nn=21-21n=)2(2nn.16.（14分）已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),它的前n项和为Sn，且a3=10,S6=72.若bn=21an-30,求数列{bn}的前n项和的最小值.解在数列{an}中，∵2an+1=an+an+2,∴{an}为等差数列，设公差为d,由7225661021613daSdaa,得421da.∴an=a1+(n-1)d=4n-2,∴bn=21an-30=2n-31∴n≤15时，bn＜0,n≥16时，bn＞0.∴{bn}的前15项的和最小为-225.17.(14分)等差数列{an}中，公差d≠0,a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列.（1）求数列{kn}的通项kn;（2）求数列nkn的前n项和Sn.解（1）由已知得(a1+d)2=a1·(a1+3d),解得a1=d或d=0（舍去），所以数列{an}的通项是an=nd,因为数列a1,a3,ak1,ak2,…,akn,…成等比数列，即数列d,3d,k1d,k2d,…,knd,…成等比数列，其公比q=dd3=3,k1d=32d,故k1=9,所以数列{kn}是以k1=9为首项，以3为公比的等比数列，故kn=9×3n-1=3n+1.(2)Sn=231+332+433+…+13nn①31Sn=331+432+533+…+131nn+23nn②①-②并整理得Sn=41n311-132nn.18.（2008·厦门模拟）（16分）数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1-an-1=0，数列{bn}满足b1=2,anbn+1=2an+1bn.（1）求S200；（2）求bn.解（1）∵an+1-an-1=0，∴an+1-an=1.∴数列{an}是以a1=1为首项,d=1为公差的等差数列.∴S200=200×1+2199200×1=20100.（2）由（1）得an=n,∴nbn+1=2(n+1)bn.∴11nbn=2·nbn.∴nbn是以11b=2为首项，q=2为公比的等比数列.∴nbn=2×2n-1.∴bn=n·2n.19.（16分）设数列{an}的首项a1=a≠41，且an+1=.,41,,21为奇数为偶数nanann记bn=a2n-1-41,n=1,2,3,….(1)求a2,a3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论.解（1）a2=a1+41=a+41,a3=21a2=21a+81.(2)因为a4=a3+41=21a+83,a5=21a4=41a+163.所以b1=a1-41=a-41≠0,b2=a3-41=21(a-41),b3=a5-41=41(a-41).证明如下：因为bn+1=a2n+1-41=21a2n-41=214112na-41=214112na=21bn(n∈N*),即nnbb1=21.所以数列{bn}为等比数列.20.（2008·湖北文，21）（16分）已知数列{an}和{bn}满足：a1=,an+1=32an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数，n为正整数.（1）证明：对任意实数,数列{an}不是等比数列；（2）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列；（3）设Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数,使得对任意正整数n，都有Sn＞-12?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.（1）证明假设存在一个实数,使{an}是等比数列，则有a22=a1a3,即2332=494942-4+9=942-49=0,矛盾.所以{an}不是等比数列.（2）证明因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］=(-1)n+114232nan=-32(-1)n·(an-3n+21)=-32bn.又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.由上式知bn≠0,所以nnbb1=-32(n∈N*).故当≠-18时，数列{bn}是以-(+18)为首项，-32为公比的等比数列.（3）解当≠-18时，由（2）得：bn=-(+18)·132n,于是Sn=-53(+18)·n321.当=-18时，bn=0，从而Sn=0，上式成立.要使对任意正整数n，都有Sn＞12.即-53(+18)·n321＞-12＜n32120-18.令f(n)=1-n32,则当n为正奇数时，1＜f(n)≤35;当n为正偶数时，95≤f(n)＜1,所以f(n)的最大值为f(1)=35.于是可得＜2053-18=-6.综上所述，存在实数,使得对任意正整数n都有Sn＞-12,的取值范围为（-∞，-6）.