2010年番禺区高三调研数学试题

2010年番禺区高三调研数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分。在每小题列出的四个选项只有一项是最符合题目要求的）1．双曲线14222yx的渐近线方程为（）A．xy2B．yx2C．xy22D．yx222．设2:xxf是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，那么BA等于（）A．B．{1}C．或{2}D．或{1}3．数列1614,813,412,211，……的前n项和为（）A．2212nnnB．2212nnnC．12212nnnD．22121nnn4．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件BA发生概率为（）A．31B．21C．32D．655．向量bnamba若),3,2(),2,1(与ba2共线（其中nmnRnm则且)0,等于（）A．21B．21C．－2D．26.直线03yx绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆3)2(22yx的位置关系是（）A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离D．直线过圆心7.已知椭圆22221(0)22xyabab+=与双曲线22221xyab-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为A．22B．12C．66D．266（）8.三位同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面三个结论：①函数f(x)的值域为(－1,1)②若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)③若规定f1(x)=f(x)，fn+1(x)=f[fn(x)]，则fn(x)=x1+n|x|对任意n∈N*恒成立.你认为上述三个结论中正确的个数有（）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是人．10．已知等比数列na的前三项依次为1a，1a，4a，则na．11．抛物线24yx上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x．12．已知52315xx的展开式中的常数项为T，()fx是以T为周期的偶函数，且当[0,1]x时，()fxx，若在区间[1,3]内，函数()()gxfxkxk有4个零点，则实数k的取值范围是．13.若实数xy、满足条件012-2+10xyxy，则目标函数2zxy的最大值为_____．14．如图，平行四边形ABCD中，2:1:EBAE，若AEF的面积等于1cm2,则CDF的面积等于cm2．AFEDCB15、曲线1C：）yx为参数(sincos1上的点到曲线2C：1222(112xttyt为参数）上的点的最短距离为．答案：9．76010．1342n11．213.214.915.1三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（本小题满分14分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinabA．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若33a，5c，求b．17．（本小题满分14分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．18．（本小题满分14分）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知45ABC，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明：SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值．SCDABADCBOl图219、（本题满分14分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214yx的焦点，离心率为255.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交Y轴于M点，若1MAAF，2MBBF，求证：1210.20、（本题满分14分）设函数2113()424fxxx，对于正数数列na，其前n项和为nS，且()nnSfa，()nN.（1）求数列na的通项公式；（2）是否存在等比数列nb，使得111222(21)2nnnabababn对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列nb的通项公式；若不存在，请说明理由.21.（本题满分14分）设函数()2lnqfxpxxx，且()2pfeqee，其中e是自然对数的底数.（1）求p与q的关系；（2）若()fx在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（3）设2()egxx，若在1,e上至少存在一点0x，使得0()fx＞0()gx成立，求实数p的取值范围.答案：16．解：（Ⅰ）由2sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC△为锐角三角形得π6B．………………………………………………7分（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457．所以，7b．………………………………………………14分17．解：（Ⅰ）记A表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064PA，()1()10.0640.936PAPA．………………………………………………7分（Ⅱ）记B表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01BBB．30()0.60.216PB，1213()0.60.40.432PBC．01()()PBPBB01()()PBPB0.2160.4320.648．……………………………………14分18．解法一：（1）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因为SASB，所以AOBO，又45ABC∠，故AOB△为等腰直角三角形，AOBO⊥，由三垂线定理，得SABC⊥．………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知SABC⊥，依题设ADBC∥，故SAAD⊥，由22ADBC，3SA，2211SDADSA．又sin452AOAB，作DEBC⊥，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连结SE．ESD∠为直线SD与平面SBC所成的角．222sin1111EDAOESDSDSD∠所以，直线SD与平面SBC所成角的正弦值为1122．………………………………………………14分DBCASOE解法二：（Ⅰ）作SOBC⊥，垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因为SASB，所以AOBO．又45ABC∠，AOB△为等腰直角三角形，AOOB⊥．如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系Oxyz，因为222AOBOAB，221SOSBBO，又22BC，所以(200)A，，，(020)B，，，(020)C，，．(001)S，，，(201)SA，，，(0220)CB，，，0SACB，所以SABC⊥．…………………7分（Ⅱ）(2221)SDSAADSACB，，，(200)OA，，.OA与SD的夹角记为，SD与平面ABC所成的角记为，因为OA为平面SBC的法向量，所以与互余．22cos11OASDOASD，22sin11，所以，直线SD与平面SBC所成角的正弦值为1122．………………………14分19.（1）解：设椭圆C的方程为22221xyab（a＞b＞0），……1分抛物线方程化为24xy，其焦点为(0,1)，………………2分则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即1b………………3分由222255cabeaa，∴25a，所以椭圆C的标准方程为2215xy………………6分（2）证明：易求出椭圆C的右焦点(2,0)F，………………7分DBCASOxyz设11220(,),(,),(0,)AxyBxyMy，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(2)ykx，代入方程2215xy并整理，得2222(15)202050kxkxk………………9分∴21222015kxxk，212220515kxxk………………10分又，110(,)MAxyy，220(,)MBxyy，11(2,)AFxy，22(2,)BFxy，而1MAAF，2MBBF，即110111(0,)(2,)xyyxy，220222(0,)(2,)xyyxy∴1112xx，2222xx，……………………12分所以121212121212122()2102242()xxxxxxxxxxxx………14分20.解：（1）由2113()424fxxx，()nnSfa，()nN得2113424nnnSaa()nN①………2分2111113424nnnSaa，②即221111111()422nnnnnnnaSSaaaa，………4分即221111()()042nnnnaaaa，即11()(2)0nnnnaaaa∵na＞0，∴12nnaa，即数列na是公差为2的等差数列，……7分由①得，21111113424Saaa，解得13a，因此，数列na的通项公式为21nan.………9分（2）假设存在等比数列nb，使得对一切正整数n都有111222(21)2nnnabababn③当2n时，有1122112(23)2nnnabababn④③－④，得2(21)nnnabn，由21nan得，2nnb………………13分又11162(211)ab满足条件，因此，存在等比数列2n，使得111222(21)2nnnabababn对一切正整数n都成立.…………………14分21.解：（1）由题意得()2ln2qpfepeeqeee…………1分1()()0pqee而10ee，所以p、q的关系为pq…………3分（2）由（1）知()2ln2lnqpfxpxxpxxxx，2'2222()ppxxpfxpxxx…………4分令2()2hxpxxp，要使()fx在其定义域(0,)内是单调函数，只需()hx在(0,)内满足：()0()0hxhx或恒成立.…………5分①当0p时，()2hxx，因为x＞0，所以()hx＜0，'22()xfxx＜0，∴()fx在(0,)内是单调递减函数，即0p适合题意；…………6分②当p＞0时，2()2hxpxxp，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为1(0,)xp，∴min1()hxpp，只需10pp，即'1()0,()0phxfx时，∴()fx在(0,)内为单调递增函数，故1p适合题意.…………7分③当p＜0时，2()2hxpxxp，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1(0,)xp，只要(0)0h，即0p时，()0hx在(0,)恒成立，故p＜0适合题意.综