数学（理科）试题参考答案及评分标准

12010年广州市高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1010．111.①②③12．3413.,01,14．5015．1,1简答或提示：7．解1：设圆心为2,(0)aaa，则2222121555aaaar，当且仅当1a时等号成立.当r最小时，圆的面积2Sr最小，此时圆的方程为22(1)(2)5xy，选A.解2：画图可得，当直线20xym与曲线2(0)yxx相切时，以切点为圆心，切点到直线210xy的距离为半径的圆为所求.设切点为000(,)(0)Pxyx，因为22'yx，所以2022x，解得001,2xy，5r，故22(1)(2)5xy为所求，选A.8．将数列分组：1213214321,,,,,,,,,,...1121231234．设2010a位于第n组，由(1)(1)201022nnnn，解得63n，所以2010a位于第63组中的第63622010572项，故2010757a，选B．12．22012132()4(2)PAxxdx．14．由FPBC，FQAC，得C、Q、F、P四点共圆，所以CQPCFPB180AC180607050．题号12345678答案BDBCCDAB215．即求直线20xy与抛物线段2yx（02y）的交点，交点的直角坐标为1,1．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）（1）解：依题意得，cos3,sin3ABOBOA，……………………………2分所以222cos3sin3AB136cos23sin13，……………………………………………………4分所以3sin3cos．因为cos0，所以tan3．……………………………………………………………6分（2）解：由02，得6AOB．………………………………………………8分所以1sin2AOBSOAOBAOB1231sin3sin266，…………………………………10分所以当3时，△AOB的面积取得最大值3．…………………………………………12分17．（本小题满分12分）（1）解：的所有可能取值为0，1，2．………………………………………………………1分依题意，得3436C1(0)C5P，214236CC3(1)C5P，124236CC1(2)C5P．∴的分布列为3012P515351∴1310121555E．……………………………………………………………6分（2）解法1：设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则2536C1C2PA，1436C1C5PAB，……………………………………………………10分∴25PABPBAPA．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分解法2：设“男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中”为事件C，从4个男生、2个女生中选3人，男生甲被选中的种数为25C10，…………………………8分男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为14C4，……………………………………………10分∴1425C42C105PC．故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25．…………………………………12分18．（本小题满分14分）方法1：以D为原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0D，0,2,0C，……………4分xyz411,0,1A，10,0,1D．…………………………………………………………………1分设0(1,,0)Ey002y．………………………………2分（1）证明：∵101,,1DEy，11,0,1AD．则1101,,11,0,10DEADy，∴11DEAD，即11DEAD．……………………………4分（2）解：当23AE时，二面角1DECD的平面角为4．…………………………5分∵0(1,2,0)ECy，10,2,1DC，…………………………………………………6分设平面1DEC的法向量为1(,,)xyzn，则10110(2)0200ECxyyyzDCnn，………………………………………………………8分取1y，则102,1,2yn是平面1DEC的一个法向量．…………………………………9分而平面ECD的一个法向量为20,0,1n，………………………………………………10分要使二面角1DECD的平面角为4，则121222212022coscos42(2)12ynnn,nnn，………………………12分解得023y002y．∴当23AE时，二面角1DECD的平面角为4．………………………………14分方法2：（1）证明：连结1AD，在长方体1111ABCDABCD中，5∵BA平面11ADDA，1AD平面11ADDA，∴1ADAE．……………………………1分∵11ADAA，则四边形11ADDA是正方形，∴11ADAD．…………………………2分∵1AEADA，∴1AD平面1ADE．………3分∵1DE平面1ADE，∴11DEAD．…………4分（2）解：当323AE时，二面角1DECD的平面角为6．…………………………………………………………5分连结DE，过D作DHEC交EC于点H，连结1DH．………………………………6分在长方体1111ABCDABCD中，1DD平面ABCD，EC平面ABCD，∴1DDEC．…………………………………………………………………………………7分∵1DHDDD，∴EC平面1DDH．…………………………………………………8分∵1DH平面1DDH，∴EC1DH．……………………………………………………9分∴1DHD为二面角1DECD的平面角，即16DHD．…………………………10分设AEx02x，则2EBx，进而212ECx．……………………11分在△DEC中，利用面积相等的关系有，ECDHCDAD，∴2212DHx．……………………………………………………………12分在Rt△1DDH中，∵16DHD，∴1tan6DDDH．………………………………13分∴212323x，解得323x02x．故当323AE时，二面角1DECD的平面角为6．………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：设(,)Pxy，则(2,0)MN，(1,)NPxy，(1,)MPxy．……………2分HABCE1AA1B1CA1DAD6由||||MNNPMNMP，得222(1)2(1)xyx，…………………………………………………………………4分化简得24yx．所以动点P的轨迹方程为24yx．……………………………………………………………5分（2）解：由点,4At在轨迹24yx上，则244t，解得4t，即4,4A．………6分当4m时，直线AK的方程为4x，此时直线AK与圆22(2)4xy相离．………7分当4m时，直线AK的方程为4()4yxmm，即4(4)40xmym，…………8分圆心(0,2)到直线AK的距离22816(4)mdm，令228216(4)mdm，解得1m；令228216(4)mdm，解得1m；令228216(4)mdm，解得1m．综上所述，当1m时，直线AK与圆22(2)4xy相交；当1m时，直线AK与圆22(2)4xy相切；当1m时，直线AK与圆22(2)4xy相离．…………………………………14分20．（本小题满分14分）（1）解：∵32fxxax，∴2'32fxxax.…………………………………………1分7∵函数xf在区间20,3内是减函数，∴2'320fxxax在20,3上恒成立．……2分即32xa在20,3上恒成立，……………………………………………………………………3分3321223x，∴1a．故实数a的取值范围为1,．……………………………4分（2）解：∵2'33fxxxa，令'0fx得203xa或．…………………………5分①若0a，则当12x时，'0fx，所以fx在区间1,2上是增函数，所以11hafa．………………………………………………………………………6分②若302a，即2013a，则当12x时，'0fx，所以fx在区间1,2上是增函数，所以11hafa．……………………………………………………………7分③若332a，即2123a，则当213xa时，'0fx；当223ax时，'0fx．fx在21,3a上是减函数，在2,23a上是增函数．324327hafaa．…8分④若3a，即223a，则当12x时，'0fx，所以fx在区间1,2上是减函数．所以284hafa．………………9分综上331,,243,3,27284,3.aahaaaaa…………10分（3）解：由题意12hama有两个不相等的实数解，即（2）中函数ha的图像与直线12yma有两个不同的交点．……………………………………………11分而直线12yma恒过定点1,02，由右图知实数m的取值范围是4,1．……14分21．（本小题满分14分）Oay1,02O1k4k8（1）证明：当1n时，1111aSmma，解得11a．……………………………1分当2n时，11nnnnnaSSmama．…………………………………………………2分即11nnmama．∵m为常数，且0m，∴11nnamam2n．…………………………………………3分∴数列na是首项为1，公比为1mm的等比数列．………………………………………4分（2）解：由（1）得，mfq1mm，1122ba．………………………………5分∵1111nnnnbbfbb，…………………………………………………………………6分∴1111nnbb，即1111nnbb2n．………………………………………………7分∴nb1是首项为12，公差为1的等差数列．………………………………………………8分∴11211122nnnb，即221nbn（nN*）．………………………………9分（3）证明：由（2）知221nbn