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长沙市一中2011届高三月考试卷(五)数学(理科)时量：120分钟满分：150分(考试范围：集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{－2,0,1}，集合B＝{x||x|a且x∈Z}，则满足AB的实数a可以取的一个值是()A.3B.2C.1D.02.若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|的值为()A.1B.16C.81D.413.如图，设D是图中边长分别为2和4的矩形区域，E是D内位于函数y＝x2图象下方的区域(阴影部分)，向D内随机抛掷30个点，则落在E内的点的个数约为()A.15B.20C.5D.104.已知命题p：“a＝1是x0，x＋ax≥2的充分必要条件”，命题q：“x0∈R，x20＋x0－20”，则下列命题正确的是()A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧(┐q)”是真命题C.命题“(┐p)∧q”是真命题D.命题“(┐p)∧(┐q)”是真命题5.已知cos(π6－α)＝33，则sin(5π6－2α)的值为()A.13B.－13C.23D.－236.已知函数f(x)＝2a(x≥2)则f(log45)等于(B)f(x+2)(x2)，A.25B.45C.35D.5x-y+2≥07.已知实数x，y满足线性约束条件x+y-4≥0，目标函数z＝y－ax(a∈R)，若z取最大2x-y-5≤0值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.(－1,0)C.(1，＋∞)D.(－∞，－1)8.形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为()A.16B.320C.11120D.215二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过(3，3)，则f(x)的解析式是.10.函数f(x)＝exlnx－1的零点个数是个.11.按下图所示的程序框图运算：若输出k＝2，则输入x的取值范围是.12.数列{an}满足：a1＝2，an＝1－1an－1(n＝2,3,4，…)，则a12＝.13.已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是.14.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝0”，设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.如果aMA＋bMB＋33cMC＝0，则内角A的大小为；若a＝3，则△ABC的面积为.15.给定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N，n≥3)，定义ai＋aj(1≤ij≤n，i，j∈N)中所有不同值的个数为集合A两元素和的容量，用L(A)表示，若A＝{2,4,6,8}，则L(A)＝；若数列{an}是等差数列，设集合A＝{a1，a2，a3，…，am}(其中m∈N*，m为常数)，则L(A)关于m的表达式为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.17.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinωx·cos(ωx＋π6)＋12(ω0)的最小正周期为4π.(1)求正实数ω的值；(2)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2bcosA＝acosC＋ccosA，求f(A)的值.18.(本小题满分12分)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相等，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)是否存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1)？请说明理由.19.(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.20.(本小题满分13分)设函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递增，若对任意x，y∈(0，＋∞)都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立，数列{an}满足：a1＝f(1)＋1，f(12an＋1－12an)＋f(12an＋1＋12an)＝0.设Sn＝a21a22＋a22a23＋a23a24＋…＋a2n－1a2n＋a2na2n＋1.(1)求数列{an}的通项公式，并求Sn关于n的表达式；(2)设函数g(x)对任意x、y都有：g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，若g(1)＝1，正项数列{bn}满足：b2n＝g(12n)，Tn为数列{bn}的前n项和，试比较4Sn与Tn的大小.21.(本小题满分13分)定义F(x，y)＝(1＋x)y，其中x，y∈(0，＋∞).(1)令函数f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))，其图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在x0(－4x0－1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；(2)令函数g(x)＝F(1，log2[(lnx－1)ex＋x])，是否存在实数x0∈[1，e]，使曲线y＝g(x)在点x＝x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由.(3)当x，y∈N，且xy时，求证：F(x，y)F(y，x).数学(理科)答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选择题答题卡题号12345678答案ACDCBBCD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.f(x)＝x12.10.1个.11.(28,57].12.－1.13[0,4].14934..152m－3.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)解：(1)每次取到一只次品的概率P1＝C13C112＝14，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P＝C23(14)2·(1－14)＝964.(5分)(2)依题知X的可能取值为0、1、2、3.(6分)且P(X＝0)＝912＝34，P(X＝1)＝312×911＝944，P(X＝2)＝312×211×910＝9220，P(X＝3)＝312×211×110×99＝1220.(8分)则X的分布列如下表：X0123P3494492201220(10分)EX＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.(12分)17.(本小题满分12分)解：(1)∵f(x)＝2sinωx(cosωx·cosπ6－sinωx·sinπ6)＋12(2分)＝3sinωxcosωx－sin2ωx＋12＝32sin2ωx－12(1－cos2ωx)＋12＝sin(2ωx＋π6).(5分)又f(x)的最小正周期T＝2π2ω＝4π，则ω＝14.(6分)(2)由2bcosA＝acosC＋ccosA及正弦定理可得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C).又A＋B＋C＝π，则2sinBcosA＝sinB.(8分)而sinB≠0，则cosA＝12.又A∈(0，π)，故A＝π3.(10分)由(1)f(x)＝sin(x2＋π6)，从而f(A)＝sin(π3×12＋π6)＝sinπ3＝32.(12分)18.(本小题满分12分)解：(1)已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*).①n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*).②①－②得2n－1an＝8，解得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，所以an＝24－n(n∈N*).(4分)由题意b1＝8，b2＝4，b3＝2，所以b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*).(8分)(2)bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，当k≥4时，f(k)＝(k－72)2＋74－24－k单调递增，且f(4)＝1，所以k≥4时，f(k)＝k2－7k＋14－24－k≥1.又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，所以，不存在k∈N*，使得bk－ak∈(0,1).(12分)19.(本小题满分13分)解：(1)依题意，L(x)＝(x－3)(11－x)2－a(11－x)2＝(x－3－a)(11－x)2，x∈[7,10].(4分)(2)因为L′(x)＝(11－x)2－2(x－3－a)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2a)＝(11－x)(17＋2a－3x).由L′(x)＝0，得x＝[7,10]或x＝17＋2a3.(6分)因为1≤a≤3，所以193≤17＋2a3≤233.①当193≤17＋2a3≤7，即1≤a≤2时，L′(x)在[7,10]上恒为负，则L(x)在[7,10]上为减函数，所以[L(x)]max＝L(7)＝16(4－a).(9分)②当717＋2a3≤233，即2a≤3时，[L(x)]max＝L(17＋2a3)＝427(8－a)3.(12分)即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a)万元.当2a≤3时，则每件产品出厂价为17＋2a3元时，年利润最大，为427(8－a)3万元.(13分)20.(本小题满分13分)解：(1)当x，y∈(0，＋∞)时，有f(xy)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝1得f(1)＝2f(1)，得f(1)＝0，所以a1＝f(1)＋1＝1.(1分)因为f(12an＋1－12an)＋f(12an＋1＋12an)＝0，所以f(14a2n＋1－14a2n)＝0＝f(1).又因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以14a2n＋1－14a2n＝1，即1a2n＋1－1a2n＝4，(3分)所以数列{1a2n}是以1为首项，4为公差的等差数列，所以1a2n＝4n－3，所以an＝14n－3.∵a2na2n＋1＝1(4n－3)(4n＋1)＝14[14n－3－14n＋1]，∴Sn＝14[11－15＋15－19＋…＋14n－3－14n＋1]＝14[1－14n＋1].(5分)(2)由于任意x，y∈R都有g(x＋y)＝g(x)＋g(y)＋2xy，则g(2x)＝2g(x)＋2x2，∴g(1)＝2g(12)＋2·(12)2＝2[2g(14)＋2·(14)2]＋12＝22g(14)＋122＋12＝22[2g(123)＋2·(123)2]＋122＋12＝23g(123)＋123＋122＋12＝…＝2ng(12n)＋12n＋12n－1＋12n－2＋…＋122