1013质量调研答案

第1页共5页闵行区2010学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一.填空题．1．4；2．1(0,)2；3．5；4．2；5．（理）2323xyxy，（文）11xy；6．14；7．3tan(22)yx；8．12；9．1()0fx；10．（理）0，（文）2；11．丙；12．1,；13．（理）37，（文）3；14．①④．二.选择题．15．B；16．A；17．D；18．C三.解答题．19.解：（1）由已知得2220acbac，（2分）又2221cos222acbacBacac，（4分）∴60B（6分）（2）(理)由8216acacac(当且仅当4ac时等号成立)（2分）∴113sin60443222ABCSac，（4分）即当且仅当4ac时，（5分）ABC面积的最大值为43．（6分）（2）(文)由正弦定理得，2sinbRB，（2分）∴62233R，（4分）∴12S外接圆，即ABC的外接圆的面积为12．（6分）20.解：（1）设l的方程为2yxb，l与C的交点坐标分别为1122()()AxyBxy，、，，点()Pxy，，由2248402xyxxbyxb，（2分）得21212(8)44084bxxxxb，依题意，12124422842bxxxxxybb（4分）故所求的轨迹方程为4(4)xy．（7分）（2）（理）由（1）知128xx，12122()2162yyxxbb（2分）由222221212||||()()64(162)1685OQOAOBxxyyb（4分）解得2610b，（6分）注意到4b，∴410b．（7分）（文）（2）由（1）知222121212416xxxxbyyb，，（2分）由60OAOB得21212460xxyybb（4分）第2页共5页解得610b（6分）注意到4b，∴410b．（7分）21.解：方案①：共修(8)kma普通公路和两个立交出入口，所需资金为150(8)40050(16)Aaa万元；（3分）方案②：取B关于MN的对称点'B，连'AB与MN交于K，在K修一个出入口，则路程最短，共需资金：222250(8)1220050[(8)1444]Aaa万元；（6分）方案③：连接AB沿ABQ修路，在Q修一个出入口，共需资金：222350[(8)128]20050[(8)14412]Aaa万元（9分）由于8a，比较大小有123AAA，（12分）故选择方案（3）．（14分）22.解：（1）∵()fx为偶函数，故44log(41)(1)log(41)(1)xxkxkx对所有xR都成立，（2分）即(23)0kx对所有xR都成立，32k．（4分）（2）由（1）得4()log(41)2xxfx，即441()log2xxfx．（2分）4411log(2)log222xx，故当且仅当0x时，（3分）()fx的最小值是12．（5分）（3）（理）解法1由方程444log(41)log(2)23xxxaa（）可变形为4142234203xxxxaaaa①②，由②得0423xa或0423xa，由①得242313(2)42xxxa，令423xt，则0253at，或02533at则21616117533475334tatttt．（2分）当253t时，75334tt单调递增，∴753340tt，∴1a，此时方程（）有且只有一个解；（3分）当2533t时，7543340tt，161375334att当3a时方程（）有且只有一个解；（4分）当3a时，方程（）有两解；当30a，或01a时方程（）无解．（5分）综上所述，当3a时，函数()fx与()gx的图像有两个不同的公共点；当3a或1a时，函数()fx与()gx的图像有且只有一个公共点；当30a或01a时，函数()fx与()gx的图像没有公共点．（7分）第3页共5页解法2：444log(41)log(2)23xxxaa（）4142234203xxxxaaaa24(1)(2)2103xxaa24(1)103atat（2分）04()033(1)101aaaa两个交点式两相异正根（3分）())a一个交点式只有一个正根讨论得{-3}(1,+（4分）-31a无交点（5分）3a综上:（，）时，两个交点，)a{-3}(1,+时，一个交点，a（-3，1]时，无交点.（7分）（文）由方程444log(41)log(2)23xxxaa（）可变形为4142234203xxxxaaaa①②，由②得0423xa或0423xa，令2xt，则043at，或0403at由①得24(1)(2)2103xxaa，设24()(1)13htatat（2分）∴当0a时，4(1)()013aha，（4分）当0a时，(0)10h，∴4()03ha不存在，当24()4(1)03aa时，34a或3a，若34a，则2t，不合题意，舍去，若3a，则12t，满足题意，（5分）∴当3a或1a时，函数()fx与()gx的图像有且只有一个公共点.（7分）第4页共5页23.解：（1）11111422()2()()()()()112225122ftfffff，∴45t（3分）（2）11()()12faf，且()()()1xyfxfyfxy)(2)()()1()12()(21nnnnnnnnnnafafafaaaafaafaf，即2)()(1nnafaf∴{()}nfa是以1为首项，2为公比的等比数列，（2分）∴1()2nnfa.（4分）∴1lim2112nnb.（8分）（3）（理）由（2）得，2111111112(1)21222212nnnnb∴2222nnnnncbn，（1分）则1111111(1)2[2]11022222nnnnnnnnnnnnccnn∴{}nc是递减数列，∴1131222ncc，（3分）要使22276log18logncmm对任意*nN恒成立，只须222216log18log2mm，即2224log12log70mm，（5分）故2217loglog22mm或，∴202m，或8211.31m，∴当12m，且*mN时，22276log18logncmm对任意*nN恒成立，∴m的最小正整数值为12。（7分）（文）由（2）得，2111111112(1)21222212nnnnb．（1分）若48mbn对任意*nN恒成立，即112224nm，142nm恒成立（3分）∵*nN，∴当1n时，124n有最大值4，故4m．（5分）第5页共5页又*mN，∴存在5m，使得对任意*nN，有48mbn．所以min5m.（7分）