2011届上海市宝山区第一学期高三年级质量调研测试卷（数学）

第1页共7页2010学年度第一学期期末质量诊断高三数学试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.若1+7i2-iabi（i是虚数单位，,abR），则乘积ab的值是.2.已知sin(),12ax，sin(),1bx，则函数()fxab的最小正周期是.3.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为43，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为________．4.若关于x的方程|1|2,(0,1)xaaaa有两个不相等实数根，则实数a的取值范围是.5.某校要求每位学生从7门选修课程中选修4门，其中甲乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有___________种．（以数字作答）6.已知()yfx的图像与1ln2yx的图像关于直线yx对称，则()fx．7.二项式12nxx的展开式前三项系数成等差数列，则展开式中2x项的系数为．8.已知线性方程组的增广矩阵为02410143571a，若该线性方程组无解，则a．9.等比数列na中，1cosax，(0,)x，公比sinqx，若12lim3nnaaa，则x．10．过抛物线2yx的焦点，方向向量为(2,3)d的直线的一个点方向式方程是．11．已知等差数列na的前n项和为nS，12009a，20092007220092007SS，则2011S．12.设211S，2222121S，22222312321S，，222221221nSn，，某学生猜测2()nSnanb，老师回答正确，则ab．13.已知数列na中，14a，114,(1,)nnnaannN，则通项公式na.第2页共7页14.定义在R上的函数f(x)的图像过点M（－6，2）和N（2，－6），且对任意正实数k，有f(x+k)f(x)成立，则当不等式|f(x-t)+2|4的解集为(－4,4)时，实数t的值为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．给出下列命题，其中正确的命题是（）(A)若zC，且20z，那么z一定是纯虚数(B)若1z、Cz2且021zz，则21zz(C)若zR，则||zzz不成立(D)若Cx，则方程23x只有一个根16．已知22,,1ABCxy是圆上不同的三个点，0OAOB，若存在,实数使得OC=OAOB，则,的关系为（）(A)221(B)111(C)1(D)117．函数()sin()fxAx（其中0,||2A）的图象如图所示，为了得到()cos2gxx的图像，则只要将()fx的图像（）（A）向右平移6个单位长度（B）向右平移12个单位长度（C）向左平移6个单位长度（D）向左平移12个单位长度18．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）(A)求数列}1{n的前10项和)(*Nn(B)求数列}21{n的前10项和)(*Nn(C)求数列}1{n的前11项和)(*Nn(D)求数列}21{n的前11项和)(*Nn三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在黑色矩形边框内．19．（本题满分12分）设三角形ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，若2223acacb，求B的大小和cossinAC的取值范围．18题图第3页共7页20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知正四棱锥P-ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h．（1）用h表示底面边长,并求正四棱锥体积V的最大值；（2）当V取最大值时，求异面直线AB和PD所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数txfx221)(（t是常实数）．（1）若函数的定义为R，求()yfx的值域；（2）若存在实数t使得()yfx是奇函数，证明()yfx的图像在1()21xgx图像的下方．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．给定椭圆2222:1(xyCaab＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为22ab的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为1(2,0)F，其短轴上的一个端点到1F的距离为3．（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；（2）若倾斜角为045的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线12,ll，使得12,ll与椭圆C都只有一个公共点，求证：1l⊥2l.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列na是首项1313a，公比313q的等比数列，设315lognnbat，常数*Nt，数列nnnnbacc满足}{．（1）求证：}{nb是等差数列；（2）若nc是递减数列，求t的最小值；（3）是否存在正整数k，使12,,kkkccc重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．ABCDP第4页共7页数学试卷参考答案一．填空题1.-32.3.234.10,25.256.21()xfxe)(Rx7.3588.29.610.3412yx11.201112.113.222nn14.2二．选择题15.A16.A17.D18.B三．解答题19.解：由2223acacb和余弦定理得2223cos22acbBac，……………3分所以π6B．………………………………………………………………………4分cossincossinACAAcossin6AA13coscossin22AAA3sin3A．……………………………………9分因为33A，所以0sin13A．所以，cossinAC的取值范围为(01]，．…………………………………………12分20.解：（1）设底面边长为a，斜高为H，由题意222aaH，所以12aHa，…………2分又因为2222aHh，所以211ah………………………………………………………4分因而2111133Vahhh，当且仅当1h时，体积最大，max16V．………………………………………………………8分此时12a，324H．（2）PDQ即为异面直线AB和PD所成的角．………………………………………………11分第5页共7页32tanaHPDQ所以异面直线AB和PD所成角的大小3arctan．………………………………………………14分21．解：（1）因为20xt恒成立，所以0t，…………………………………………2分当0t时，()yfx的值域为(,1)；…………………………………………………4分当0t时，由212xyt得，2201xttyy，因而2(1)01yty即()yfx的值域为)1,21(t。…………………………………………………………6分（2）由()yfx是奇函数得1t，所以1()121xfx……………………………8分2()()1(221)21xxfxgx，0)]12(2122[4)()(xxxgxf……………………………………………11分当“=”成立时，必有22(21)21xx，即20x，此式显然不成立．…………13分所以对任意实数x都有)()(xgxf即()yfx的图像在1()21xgx图像的下方．…………………………………14分22．解：（1）因为2,3ca，所以1b……………………………………………2分所以椭圆的方程为2213xy，伴随圆的方程为224xy.………………………………………………………………4分（2）设直线l的方程yxb，由2213yxbxy得2246330xbxb由22(6)16(33)0bb得24b……………………………………………………………6分圆心到直线l的距离为||22bdOQ第6页共7页所以22||222MNrd……………………………………………………………………8分（3）①当12,ll中有一条无斜率时，不妨设1l无斜率，因为1l与椭圆只有一个公共点，则其方程为3x或3x，当1l方程为3x时，此时1l与伴随圆交于点(3,1),(3,1),此时经过点(3,1)（或3,1)且与椭圆只有一个公共点的直线是1y(或1)y，即2l为1y(或1)y，显然直线12,ll垂直；同理可证1l方程为3x时，直线12,ll垂直.…………………………………………………10分②当12,ll都有斜率时，设点00(,),Pxy其中22004xy，设经过点00(,),Pxy与椭圆只有一个公共点的直线为00()ykxxy，由0022()13ykxykxxy，消去y得到22003(())30xkxykx，即2220000(13)6()3()30kxkykxxykx，………………………………………12分22200006()4(13)3()30kykxkykx，经过化简得到：2220000(3)210xkxyky，因为22004xy，所以有2220000(3)2(3)0xkxykx，………………………………14分设12,ll的斜率分别为12,kk，因为12,ll与椭圆都只有一个公共点，所以12,kk满足方程2220000(3)2(3)0xkxykx，因而121kk，即12,ll垂直.………………………………………………………………16分23.解：（1）由题意知，313nna，……………………………………………………1分因为11315log5nnnnabba，13115log5batt∴数列nb是首项为15bt，公差5d的等差数列．……………………………4分第7页共7页（2）由（1）知，5nbnt，31(5)3nncnt，1335515033nnnntccnt恒成立，即35531tn恒成立，……………7分因为35()531fnn是递减函数，所以，当n=1时取最大值，max35()56.331fn，…………………………………9分因而6.3t，因为tN，所以7t．………………………………………………………10分（3）记5ktx，3311(5)33kkkcktx，1113311(55)(5)33kkkcktx，2223311(510)(10)33kkkcktx．①若kc是等比中项，则由212kkkccc得1222333111(5)(10)333kkkxxx化简得22