2011届烟台市高三第一学期期中考试数学试题

12999数学网高三数学（理科）（满分150分，时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的选项的代号涂在答题卡上或填在答题纸相应空格里.1．设集合2{|0},{|||2},MxxxNxx则A．MNB．MNMC．MNMD．MNR2．已知向量,mn的夹角为6，且||3,||2,mn在△ABC中，,3,ABACmnmnD为BC边的中点，则||AD等于A．1B．2C．3D．43．设曲线2cossinxyx在点(,2)2处的切线与直线10xay垂直，则a等于A．2B．-2C．-1D．14．不等式21log1xx的解集为A．(,1]B．[1,)C．[-1，0）D．(,1)(0,)5．函数()sinfxxx的零点个数为A．1B．2C．3D．无数个6．函数log(||1)(1)ayxa的大致图像是7．已知函数1xya（0a，且1a）的图象恒过定点A，若点A在一次函数ymxn的图象上，其中,0mn，则11mn的最小值为A．1B．2C．2D．48．函数()yfx的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是A．在（-3，1）上()fx是增函数B．在1x处()fx有极大值C．在2x处()fx取极大值D．在（1，3）上()fx为减函数9．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且1,45,2ABCaBS，则b等于A．42B．3C．5D．4110．若函数()fx满足：“对于区间（1，2）上的任意实数12122121,(),|()()|||xxxxfxfxxx恒成立”，则称()fx为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是A．1()fxxB．()||fxxC．()23fxxD．2()fxx11．若0,0ab且4ab，则下列不等式恒成立的是A．112abB．111abC．2abD．22118ab12．函数()sin()fxAxb的图象如下，则(0)(1)(2011)Sfff等于A．0B．503C．1006D．2012二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.把答案填在答题纸相应题目的横线上.13．已知,,abc分别是△ABC的三个内角,,ABC所对的边，若1,3,2,abACB则sinC14．已知||2,||4ab，且（ab）与a垂直，则a与b的夹角是15．若20.30.30.3,2,log2abc，则,,abc由大到小的关系是16．设01a，函数2(),()lnafxxgxxxx，若对任意的12,[1,]xxe，都有12()()fxgx成立，则实数a的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.17．（本题满分12分）已知点(,)Pxy在由不等式组301010xyxyx确定的平面区域内，O为坐标原点，(1,2)A，试求OPOA的最大值.18．（本题满分12分）已知函数()sin(2)sin(2)cos266fxxxxa（,aRa为常数）.（1）求函数()fx的单调增区间；（2）若函数()fx的图像向左平移(0)mm个单位后，得到函数()gx的图像关于y轴对称，求实数m的最小值.12999数学网．（本题满分12分）已知(cos,sin),(cos,sin)ab，其中0.（1）求证：ab与ab互相垂直；（2）若kab与(0)kkab的长度相等，求.20．（本题满分12分）奇函数()()1()mgxfxgx的定义域为R，其中()ygx为指数函数且过点（2，9）.（1）求函数()yfx的解析式；（2）若对任意的[0,5]t，不等式22(2)(225)0fttkftt恒成立，求实数k的取值范围.21．（本题满分12分）在一条笔直的工艺流水线上有三个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为1,23,xxx，每个工作台上有若干名工人.现要在1x与3x之间修建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.（1）若每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；（2）设三个工作台从左到右的人数依次为2，1，3，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.22．（本题满分14分）已知函数2()ln(1)().fxxaxaxaR（1）求函数()fx的单调区间；（2）试判断是否存在实数(1)aa，使()yfx的图像与直线1ln2y无公共点（其中自然对数的底数e为无理数且e=2.71828…）.12999数学网高三理科数学答案一、BADCABDCCADD二、13．114．2315．bac16．21ea三、17．解：2OPOAxy，设2zxy，…………………………3分画出可行域，可得直角三角形的三个顶点坐标分别（1，0）（1，2）（2，1）.…………6分由目标函数2zxy，知2z为直线在y轴上的截距，……………………………9分直线经过点（1，2）时，z最大，即OPOA的最大值为3.…………………12分18．解：（1）()sin(2)sin(2)cos266fxxxxa3sin2cos22sin(2).6xxaxa…………………………………3分当222()262kxkkZ，即()63kxkkZ时，函数()fx单调递增，故所求区间为[,]().63kkkZ…………………………6分（2）函数()fx的图像向左平移(0)mm个单位后得()2sin[2()]6gxxma，要使()gx的图像关于y轴对称，只需2()62mkKZ…………………………9分即()23kmkZ，所以m的最小值为3.………………………………12分19．解：（1）22()()ababab222222||||(cossin)(cossin)ab=1-1=0ab与-ab互相垂直.……………………………………5分（2）+(coscos,sinsin),kkkab-(coscos,sinsin),kkkab22|+|2cos()1,||2cos()1,kkkkkkabab22|+|||,2cos()12cos()1,kkkkkkabab……………9分2cos()2cos(),kk0k，故cos()0，又0,0,.2………………………12分20．解：（1）设()(0,1),xgxaaa则29,3aa或3a（舍），3()3,().13xxxmgxfx……………………2分又()fx为奇函数，33()(),1313xxxxmmfxfx，整理得(31)31xxm1m13().13xxfx…………………………6分（2）22.3ln3()0,()(13)xxfxyfx在R上单调递减.……………………7分要使对任意的22[0,5],(2)(225)0tfttkftt恒成立，即对任意的22[0,5],(2)(225)tfttkftt恒成立.()fx为奇函数，22(2)(225)fttkftt恒成立，…………………………9分又()yfx在R上单调递减，222225ttktt当[0,5]t时恒成立，2245(2)1kttt当[0,5]t时恒成立，而当[0,5]t时，21(2)110t，1.k………………………………12分21．解：设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为().dx（1）由题设知，13xxx，所以123312()()||()||.dxxxxxxxxxxx………………………3分故当2xx时，()dx取最小值，此时供应站的位置为2.xx……………5分（2）由题设知，13xxx，所以各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为132()2()3()||.dxxxxxxx……………………………………8分3211232123232,,()32,.xxxxxxxdxxxxxxx…………………………10分因此，函数()dx在区间（12,xx）上是减函数，在区间[23,xx]上是常数.故供应站位置位于区间[23,xx]上任意一点时，均能使函数()dx取得最小值，且最小值为32132.xxx………………12分22．解：（1）函数2()ln(1)()fxxaxaxaR的定义域是(1,).………1分22()2()211axxafxxaxx，…………………3分①若0a，则22()221,()021axxafxx在(1,)上恒成立，0a时，()fx的增区间为(1,)…………………………5分②若0a，则212a，故当2(1,]2ax时，22()2()01axxfxx；当时2[,)2ax时，22()2()01axxfxx，…………………………7分0a时，()fx的减区间为2(1,],()2afx的增区间为2[,).2a…………………8分（2）1a时，由（1）可知，()fx在(1,)上的最小值为22()1ln.242aaafa…………………10分12999数学网()()1ln([1,)),242aaagafaa则113()ln1(1)ln1ln20,22222aagag2()1ln42aagaa在[1,)上单调递减，max3()(1)ln24gag，……………………………12分max314()1ln2ln21ln2ln0,44ega存在实数(1)aa使()fx的最小值大于1ln2,故存在实数(1)aa，使()yfx的图像与直线1ln2y无公共点.……………14分