2011年广州市高三年级调研测试--数学（理）

图2侧视图俯视图正视图4x33x4试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（理科）本试卷共4页，共21题，满分150分。考试用时120分钟。2011.01参考公式：锥体的体积公式13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数3gxx的定义域为A．3xxB．3xxC．3xxD．3xx2.已知i为虚数单位,则复数i(1i)的模等于A.12B.22C.2D.23.已知,xy满足约束条件,1,1.yxxyy则2zxy的最大值为A.3B.32C.32D.34.已知:2px，:02qx，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.如果执行图1的程序框图，若输入6,4nm，那么输出的p等于图1A.720B.360C.240D.1206.已知随机变量X服从正态分布2(,)N，且(22)0.9544PX，()0.6826PX，若4，1,则(56)PXA．0.1358B．0.1359C．0.2716D．0.27187.一空间几何体的三视图如图2所示,该几何体的体积为85123，则正视图中x的值为A.5B.4图3ONMDCBAC.3D.28.若把函数yfx的图象沿x轴向左平移4个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sinyx的图象,则yfx的解析式为A.sin214yxB.sin212yxC.1sin124yxD.1sin122yx二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标,采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本,若高收入家庭抽取了25户,则低收入家庭被抽取的户数为.10.已知直线l经过坐标原点，且与圆22430xyx相切，切点在第四象限，则直线l的方程为.11.等比数列{an}的前n项和为Sn，若246,30SS，则6S.12.922()2xx展开式的常数项是.（结果用数值作答）13.设函数22,,1,,1,.xxfxxx若4fx，则x的取值范围是.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切,切点为A，MAB35,则D.15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：2,14xtyt（t为参数），圆C的极坐标方程为22sin，则直线l与圆C的位置关系为.MDCBAP三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc.已知向量m2cos,sin22AA,ncos,2sin22AA,.1nm(1)求cosA的值;(2)若23a,2b,求c的值.17．（本小题满分12分）某商店储存的50个灯泡中,甲厂生产的灯泡占60%,乙厂生产的灯泡占40%,甲厂生产的灯泡的一等品率是90%,乙厂生产的灯泡的一等品率是80%.(1)若从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等),则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?(2)若从这50个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等),这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为,求E的值.18．（本小题满分l4分）如图4，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，2PAAD，1AB,BMPD于点M．(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.图419．（本小题满分14分）已知椭圆222:133xyEaa的离心率12e.直线xt（0t）与曲线E交于不同的两点,MN,以线段MN为直径作圆C,圆心为C．(1)求椭圆E的方程；(2)若圆C与y轴相交于不同的两点,AB，求ABC的面积的最大值.20．（本小题满分14分）OPn+1Qn+1PnP1Q1l0P0yx已知函数(afxxaxR),lngxx.(1)求函数Fxfxgx的单调区间；(2)若关于x的方程22gxfxex(e为自然对数的底数)只有一个实数根,求a的值.21．（本小题满分14分）如图5，过曲线C：xye上一点0(0,1)P作曲线C的切线0l交x轴于点11(,0)Qx，又过1Q作x轴的垂线交曲线C于点111(,)Pxy，然后再过111(,)Pxy作曲线C的切线1l交x轴于点22(,0)Qx，又过2Q作x轴的垂线交曲线C于点222(,)Pxy，，以此类推，过点nP的切线nl与x轴相交于点11(,0)nnQx，再过点1nQ作x轴的垂线交曲线C于点111(,)nnnPxy（nN*）．(1)求1x、2x及数列{}nx的通项公式；(2)设曲线C与切线nl及直线11nnPQ所围成的图形面积为nS，求nS的表达式；(3)在满足(2)的条件下,若数列{}nS的前n项和为nT，求证：11nnnnTxTx(nN*).图5第1页共8页2011年广州市高三调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1910．33yx11.12612.21213.,22,14．12515．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量,同角三角函数的基本关系、解三角形等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:∵m2cos,sin22AA,ncos,2sin22AA,1mn,∴222cos2sin122AA.……2分∴1cos2A.……4分(2)解:由(1)知1cos2A,且0A,∴23A.……6分∵23a,2b,由正弦定理得sinsinabAB,即2322sinsin3B,∴1sin2B.……8分∵0,BBA,∴6B.……10分∴6CAB.∴2cb.……12分17.（本小题满分12分）(本小题主要考查条件概率、数学期望等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)题号12345678答案ACDBBBCB第2页共8页zyxMDCBAP(1)解法1:设事件A表示“甲厂生产的灯泡”,事件B表示“灯泡为一等品”,依题意有0.6PA,0.9PBA,根据条件概率计算公式得0.60.90.54PABPAPBA.……4分解法2:该商店储存的50个灯泡中是甲厂生产的灯泡有5060%30个,乙厂生产的灯泡有5040%20个,其中是甲厂生产的一等品有3090%27个,乙厂生产的一等品有2080%16个,故从这50个灯泡中随机抽取出一个灯泡,它是甲厂生产的一等品的概率是270.5450P.……4分(2)解:的取值为0,1,2,……5分22325025301225CPC,11272325062111225CCPC,22725035121225CPC……8分∴的分布列为:∴25362135113230121.081225122512251225E.……12分18.（本小题满分l4分）(本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识,考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)(1)证明：∵PA平面ABCD，AB平面ABCD,∴PAAB.∵ABAD，,ADPAAAD平面PAD,PA平面PAD,∴AB平面PAD.∵PD平面PAD∴ABPD，……3分∵BMPD,ABBMB,AB平面ABM,BM平面ABM,∴PD平面ABM.∵AM平面ABM,∴AMPD.……6分（2）解法1：由（1）知，AMPD，又PAAD，则M是PD的中点,在Rt△PAD中,得2AM，在Rt△CDM中,得223MCMDDC,012P253122562112253511225第3页共8页∴1622ACMSAMMC.设点D到平面ACM的距离为h，由DACMMACDVV，……8分得111332ACMACDShSPA.解得63h，……10分设直线CD与平面ACM所成的角为，则6sin3hCD，……12分∴3cos3.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.……14分解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则0,0,0A，0,0,2P，1,0,0B，1,2,0C，0,2,0D，0,1,1M.∴1,2,0,0,1,1,1,0,0ACAMCD.……8分设平面ACM的一个法向量为(,,)nxyz，由,nACnAM可得：20,0.xyyz令1z，得2,1xy.∴(2,1,1)n.……10分设直线CD与平面ACM所成的角为，则6sin3CDnCDn.……12分∴3cos3.∴直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为33.……14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.……2分解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy．……4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，第4页共8页∴212302tt，即22107t．∴弦长22222123||221274tABrdtt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∴圆C的方程为222123()4txty．∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．在圆C的方程222123()4txty中，令0x，得21272ty，∴弦长2||127ABt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt第5页共8页377.……12分当且仅当27127t