2011年广州市高三年级调研测试--数学（文）

试卷类型：A2011年广州市高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4页，共21题，满分150分。考试用时120分钟。2011.01参考公式：锥体的体积公式13VSh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数3gxx的定义域为A．3xxB．3xxC．3xxD．3xx2．已知i为虚数单位,则复数zi(1i)在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量(2,0)a,(1,1)b,则下列结论中正确的是A．||||abB．21baC．//abD．()abb4．已知直线l经过坐标原点，且与圆22430xyx相切，切点在第四象限，则直线l的方程为A．3yxB．3yxC．33yxD．33yx5.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是A．甲B．乙C．丙D．丁甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2方差2s3.53.52.15.6图2侧视图俯视图正视图4x33x46.如果执行图1的程序框图，若输入6,4nm，那么输出的p等于A．720B．360C．240D．1207.“2x”是“0232xx”成立的图1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.定义3xyxy,则hhh等于A．hB．0C．hD．3h9.一空间几何体的三视图如图2所示,该几何体的体积为85123，则正视图中x的值为A．5B．4C．3D．210.若把函数yfx的图象沿x轴向左平移4个单位,沿y轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数sinyx的图象,则yfx的解析式为A．sin214yxB．sin212yxC．1sin124yxD．1sin122yx二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11～13题）11．已知等比数列na的公比是2，33a，则5a的值是.12．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知2,3ab，则sinsin()AAC.图3ONMDCBA13.设函数22,,1,,1,.xxfxxx若4fx，则x的取值范围是.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切,切点为A，MAB35,则D.15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线l的参数方程为：2,14xtyt（t为参数），圆C的极坐标方程为22sin，则直线l与圆C的位置关系为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知向量a(sin,2),b(cos,1),且a//b，其中(0,)2．（1）求sin和cos的值；（2）若3sin(),052，求cos的值．17.（本小题满分12分）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科803020研究生x20y（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为539，求x、y的值.18.（本小题满分14分）如图4，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC∥，ABCPDPAD△是等边三角形，已知24BDAD，225ABDC．（1）求证：BD平面PAD；（2）求三棱锥APCD的体积．19.（本小题满分14分）图4已知椭圆222:133xyEaa的离心率12e.直线xt（0t）与曲线E交于不同的两点,MN,以线段MN为直径作圆C,圆心为C．（1）求椭圆E的方程；（2）若圆C与y轴相交于不同的两点,AB，求ABC的面积的最大值.20．（本小题满分14分）已知数列}{na的前n项和为nS，且满足1(nnSanN*).各项为正数的数列}{nb中，对于一切nN*,有11111nkkknnbbbb，且1231,2,3bbb.（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）设数列{}nnab的前n项和为nT,求证:2nT.21.（本小题满分14分）已知函数(afxxaxR),lngxx.（1）求函数Fxfxgx的单调区间；（2）若关于x的方程22gxfxex(e为自然对数的底数)只有一个实数根,求a的值.2011年广州市高三调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.题号12345678910答案ABDCCBACCB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．1212．2313.,22,14．12515．相交三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查平面向量,同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解：∵a(sin,2),b(cos,1),且a//b，∴sincos21，即cos2sin.……2分∵1cossin22,0,2,解得255sin,cos55,∴55cos,552sin.……6分（2）解:∵02，20，∴22.∵3sin(),5∴24cos()1sin()5.……8分∴coscos[()]coscos()sinsin()……10分255.……12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查分层抽样、概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m，∴30505m,解得3m.……2分∴抽取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作S1、S2；B1、B2、B3.从中任取2人的所有基本事件共10个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3).OPDCBA其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).……4分∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710.……6分(2)解:依题意得：10539N，解得78N.……8分∴35～50岁中被抽取的人数为78481020.∴482010805020xy.……10分解得40,5xy.∴40,5xy.……12分18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明：在ABD△中，由于2AD，4BD，25AB，∴222ADBDAB.……2分∴ADBD．又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，∴BD平面PAD.……4分（2）解：过P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD．……6分∵PAD△是边长为2的等边三角形，∴3PO.由（1）知，ADBD，在RtABD△中，斜边AB边上的高为455ADBDhAB.……8分∵ABDC∥，∴114552225ACDSCDh△.……10分∴112323333APCDPACDACDVVSPO△.……14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查椭圆、圆、直线与圆的位置关系等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵椭圆222:133xyEaa的离心率12e,∴2312aa.……2分解得2a.∴椭圆E的方程为22143xy．……4分（2）解法1：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．∴弦长22222123||221274tABrdtt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分解法2：依题意，圆心为(,0)(02)Ctt．由22,1,43xtxy得221234ty.∴圆C的半径为21232tr．……6分∴圆C的方程为222123()4txty．∵圆C与y轴相交于不同的两点,AB，且圆心C到y轴的距离dt，∴212302tt，即22107t．在圆C的方程222123()4txty中，令0x，得21272ty，∴弦长2||127ABt．……8分∴ABC的面积211272Stt……9分21712727tt2271271227tt377.……12分当且仅当27127tt，即427t时，等号成立.∴ABC的面积的最大值为377．……14分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵1nnSa，当1n时,1111aSa,解得112a.……1分当2n时,1nnnaSS111nnaa,得12nnaa,即112nnaa.……3分∴数列}{na是首项为12,公比为12的等比数列.∴1111222nnna.……4分∵对于一切nN*,有11111nkkknnbbbb，①当2n时,有111111nkkknnbbbb，②①②得：111111nnnnnnbbbbbb化简得:11(1)0nnnbnbb,③用1n替换③式中的n，得：211(1)0nnnbnbb,④……6分③－④整理得：211nnnnbbbb，∴当2n时,数列{}nb为等差数列.∵32211bbbb,∴数列{}nb为等差数列.……8分∵121,2bb∴数列{}nb的公差1d.∴11nbnn