2012年北京市西城区高三期末理科试卷及答案

1北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末考试数学试题（理）本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第I卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i1i（）A．1i22B．1i22C．1i22D．1i222．已知圆的直角坐标方程为2220xyy．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A．2cosB．2sinC．2cosD．2sin3．已知向量(3,1)a，(0,2)b．若实数k与向量c满足2kabc，则c可以是（）A．(3,1)B．(1,3)C．(3,1)D．(1,3)4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3B．6C．10D．155．已知点(,)Pxy的坐标满足条件1,2,220,xyxy那么22xy的取值范围是（）A．[1,4]B．[1,5]C．4[,4]5D．4[,5]56．已知,abR．下列四个条件中，使ab成立的必要而不充分的条件是（）2A．1abB．1abC．||||abD．22ab7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8B．83C．4D．438．已知点(1,1)A．若曲线G上存在两点,BC，使ABC△为正三角形，则称G为型曲线．给定下列三条曲线：①3(03)yxx；②22(20)yxx；③1(0)yxx．其中，型曲线的个数是（）A．0B．1C．2D．3第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．函数21()logfxx的定义域是______．10．若双曲线221xky的一个焦点是(3,0)，则实数k______．11．如图，PA是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若32PABC，则PBBC______．12．已知{}na是公比为2的等比数列，若316aa，则1a；22212111naaa______．13．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若25b，4B，5sin5C，则c；a．14．有限集合P中元素的个数记作card()P．已知card()10M，AM，BM，AB，且card()2A，card()3B．若集合X满足AXM，则集合X的个数是_____；若集3合Y满足YM，且AY，BY，则集合Y的个数是_____．（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数2()3sinsincosfxxxx，π[,π]2x．（Ⅰ）求()fx的零点；（Ⅱ）求()fx的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用．（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，12ABBCAA，90ABC，D是BC的中点．（Ⅰ）求证：1AB∥平面1ADC；（Ⅱ）求二面角1CADC的余弦值；（Ⅲ）试问线段11AB上是否存在点E，使AE与1DC成60角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的一个焦点是(1,0)F，且离心率为12．4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于,MN两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点0(0,)Py，求0y的取值范围．19．（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2xaxxxf，其中aR．（Ⅰ）若2x是)(xf的极值点，求a的值；（Ⅱ）求)(xf的单调区间；（Ⅲ）若)(xf在[0,)上的最大值是0，求a的取值范围．20．（本小题满分13分）已知数列12:,,,nnAaaa．如果数列12:,,,nnBbbb满足1nba，11kkkkbaab，其中2,3,,kn，则称nB为nA的“衍生数列”．（Ⅰ）若数列41234:,,,Aaaaa的“衍生数列”是4:5,2,7,2B，求4A；（Ⅱ）若n为偶数，且nA的“衍生数列”是nB，证明：nB的“衍生数列”是nA；（Ⅲ）若n为奇数，且nA的“衍生数列”是nB，nB的“衍生数列”是nC，…．依次将数列nA，nB，nC，…的第(1,2,,)iin项取出，构成数列:,,,iiiiabc．证明：i是等差数列．56789101112